Теорема Лагранжа (теория групп)

1. Количество правых и левых смежных классов любой подгруппы ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle G}$ одинаково и называется индексом подгруппы ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle G}$ (обозначается ${\displaystyle [G:H]}$).
2. Порядок любой подгруппы конечной группы ${\displaystyle G}$ делит порядок ${\displaystyle G}$.
3. Из того, что порядок элемента группы равен порядку циклической подгруппы, образованной этим элементом, следует, что порядок любого элемента конечной группы ${\displaystyle G}$ делит порядок ${\displaystyle G}$. Это следствие обобщает теорему Эйлера и малую теорему Ферма в теории чисел.
4. Группа порядка ${\displaystyle p}$, где ${\displaystyle p}$ — простое число, циклична. (Поскольку порядок элемента, отличного от единицы, не может быть равен 1, все элементы, кроме единицы, имеют порядок ${\displaystyle p}$, и значит, каждый из них порождает группу.)

Важный частный случай этой теоремы был доказан Лагранжем в 1771 году в связи с исследованиями разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Это было задолго до определения группы, Лагранж исследовал группу подстановок. Современная формулировка включает первоначальную формулировку теоремы Лагранжа как пример.

• Теоремы Силова