Порядок элемента

Порядок элемента равен единице тогда и только тогда, когда элемент является нейтральным.

Если всякий не нейтральный элемент в ${\displaystyle G}$ совпадает со своим обратным (то есть ${\displaystyle g^{2}=e}$), то ${\displaystyle \mathrm {ord} (a)=2}$ и ${\displaystyle G}$ является абелевой, поскольку ${\displaystyle ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba}$. Обратное утверждение в общем случае неверно: например, (аддитивная) циклическая группа ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$ целых чисел по модулю 6 — абелева, но число 2 имеет порядок 3:

${\displaystyle 2+2+2=6\equiv 0{\pmod {6}}}$.

Для любого целого ${\displaystyle k}$ тождество ${\displaystyle g^{k}=e}$ выполнено тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \mathrm {ord} (g)}$ делит ${\displaystyle k}$.

Все степени элемента бесконечного порядка имеют также бесконечный порядок. Если ${\displaystyle g}$ имеет конечный порядок, то порядок ${\displaystyle g^{k}}$ равен порядку ${\displaystyle g}$, делённому на наибольший общий делитель чисел ${\displaystyle \mathrm {ord} (g)}$ и ${\displaystyle k}$. Порядок обратного элемента совпадает с порядком самого элемента (${\displaystyle \mathrm {ord} (g)=\mathrm {ord} (g^{-1})}$).

Порядок любого элемента группы делит порядок группы. Например, в симметрической группе ${\displaystyle S_{3}}$, состоящей из шести элементов, нейтральный элемент ${\displaystyle e}$ имеет (по определению) порядок 1, три элемента, являющихся корнями из ${\displaystyle e}$ — порядок 2, а порядок 3 имеют два оставшихся элемента, являющихся корнями элементов порядка 2: то есть, все порядки элементов являются делителями порядка группы.

Частично обратное утверждение верно для конечных групп (теоретико-групповая теорема Коши): если простое число ${\displaystyle p}$ делит порядок группы ${\displaystyle G}$, то существует элемент ${\displaystyle g\in G}$, для которого ${\displaystyle \mathrm {ord} (g)=p}$. Утверждение не выполняется для составных порядков, так, четверная группа Клейна не содержит элемента порядка четыре.

В любой группе ${\displaystyle \mathrm {ord} (ab)=\mathrm {ord} (ba)}$.

Не существует общей формулы, связывающей порядок произведения ${\displaystyle ab}$ с порядками сомножителей ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. Возможен случай, когда и ${\displaystyle a}$, и ${\displaystyle b}$ имеют конечные порядки, в то время как порядок произведения ${\displaystyle ab}$ бесконечен, также возможно, что и ${\displaystyle a}$, и ${\displaystyle b}$ имеют бесконечный порядок, в то время как ${\displaystyle \mathrm {ord} (ab)}$ конечен. Пример первого случая — в симметрической группе над целыми числами перестановки, задаваемые формулами ${\displaystyle a(x)=2-x,b(x)=1-x}$, тогда ${\displaystyle ab(x)=x-1}$. Пример второго случая — перестановки в той же группе ${\displaystyle a(x)=x+1,b(x)=x-1}$, произведение которых является нейтральным элементом (перестановка ${\displaystyle ab(x)=\mathrm {id} }$, оставляющая элементы на своих местах). Если ${\displaystyle ab=ba}$ то можно утверждать, что ${\displaystyle \mathrm {ord} (ab)}$ делит наименьшее общее кратное чисел ${\displaystyle \mathrm {ord} (a)}$ и ${\displaystyle \mathrm {ord} (b)}$. Следствием этого факта является, что в конечной абелевой группе порядок любого элемента делит максимальный порядок элементов группы.

Для данной конечной группы ${\displaystyle G}$ порядка ${\displaystyle n}$, число элементов с порядком ${\displaystyle d}$ (${\displaystyle d}$ — делитель ${\displaystyle n}$) кратно ${\displaystyle \varphi (d)}$, где ${\displaystyle \varphi }$ — функция Эйлера, дающая число положительных чисел, не превосходящих ${\displaystyle d}$ и взаимно простых с ним. Например, в случае ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle \varphi (3)=2}$, и имеется в точности два элемента порядка 3; при этом данное утверждение не даёт никакой полезной информации относительно элементов порядка 2, поскольку ${\displaystyle \varphi (2)=1}$, и очень ограниченную информацию о составных числах, таких как ${\displaystyle d=6}$, поскольку ${\displaystyle \varphi (6)=2}$, и в группе ${\displaystyle S_{3}}$ имеется нуль элементов порядка 6.

Гомоморфизмы групп имеют свойство понижать порядок элементов. Если ${\displaystyle f:G\to H}$ является гомоморфизмом, и ${\displaystyle g\in G}$ — элемент конечного порядка, то ${\displaystyle \mathrm {ord} (f(g))}$ делит ${\displaystyle \mathrm {ord} (g)}$. Если ${\displaystyle f}$ инъективно, то ${\displaystyle \mathrm {ord} (f(g))=\mathrm {ord} (g)}$. Этот факт может быть использован для доказательства отсутствия (инъективного) гомоморфизма между двумя какими-либо заданными группами. (Например, не существует нетривиального гомоморфизма ${\displaystyle h:S_{3}\to \mathbb {Z} _{5}}$, поскольку любое число, за исключением нуля, в ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}}$ имеет порядок 5, а 5 не делит ни один из порядков 1, 2 и 3 элементов ${\displaystyle S_{3}}$.) Другим следствием является утверждение, что сопряжённые элементы имеют одинаковый порядок.

• Курош А.Г. Теория групп. — Москва: Наука, 1967. — ISBN 5-8114-0616-9.
• Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. . Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.