Гомоморфизм групп

Цель определения гомоморфизма группы — создать функции, сохраняющие алгебраическую структуру. Эквивалентное определение гомоморфизма группы: Функция h : G → H является гомоморфизмом группы, если из a ∗ b = c следует h(a) ⋅ h(b) = h(c). Другими словами, группа H в некотором смысле подобна алгебраической структуре G и гомоморфизм h сохраняет её.

Определим ядро h как множество элементов из G, которые отображаются в нейтральный элемент в H

${\displaystyle \mathop {\mathrm {ker} } (h):=\{u\in G:h(u)=e_{H}\}{\mbox{.}}}$

и образ h как

${\displaystyle \mathop {\mathrm {im} } (h):=h(G):=\left\{h(u)\colon u\in G\right\}{\mbox{.}}}$

Ядро h является нормальной подгруппой G, а образ h является подгруппой H:

${\displaystyle h\left(g^{-1}\circ u\circ g\right)=h(g)^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g)=h(g)^{-1}\cdot e_{H}\cdot h(g)=h(g)^{-1}\cdot h(g)=e_{H}.}$

Гомоморфизм h является инъективным (и называется мономорфизмом группы) в том и только в том случае, когда ker(h) = {e_G}.

Ядро и образ гомоморфизма можно понимать как измерение, насколько гомоморфизм близок к изоморфизму. Первая теорема об изоморфизме утверждает, что образ гомоморфизма группы h(G) изоморфен факторгруппе G/ker h.

• Возьмём циклическую группу Z/3Z = {0, 1, 2} и группу целых чисел Z по сложению. Отображение h : Z → Z/3Z с h(u) = u mod 3 является гомоморфизмом. Оно сюръективно и его ядро состоит из целых чисел, делящихся на 3.

• Возьмём группу

${\displaystyle G:=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\bigg |}a>0,b\in \mathbf {R} \right\}}$

Для любого комплексного числа u функция f_u : G → C, определённая как:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\mapsto a^{u}}$

является гомоморфизмом.

• Возьмём группу положительных вещественных чисел с операцией умножения (R⁺, ⋅) . Для любого комплексного числа u функция f_u : R⁺ → C, определённая как

${\displaystyle f_{u}(a)=a^{u}}$

является гомоморфизмом.

• Экспоненциальное отображение является гомоморфизмом из группы вещественных чисел R по сложению в группу ненулевых вещественных чисел R* по умножению. Ядром является множество {0}, а образ состоит из вещественных положительных чисел.

• Экспоненциальное отображение также образует гомоморфизм из группы комплексных чисел C по сложению в группу ненулевых комплексных чисел C* по умножению. Это отображение сюръективно, его ядром является множество {2πki : k ∈ Z}, как можно видеть из формулы Эйлера. Поля, подобные R и C, имеющие гомоморфизм из группы по сложению в группу по умножению, называют экспоненциальными полями.

Если h : G → H и k : H → K являются гомоморфизмами групп, то и k o h : G → K тоже гомоморфизм. Это показывает, что класс всех групп, вместе с гомоморфизмами групп в качестве морфизмов, образуют категорию.

Если гомоморфизм h является биекцией, то можно показать, что обратное отображение тоже является гомоморфизмом групп, и тогда h называется изоморфизмом. В этом случае группы G и H называются изоморфными — они различаются только обозначением элементов и операции и идентичны для практического применения.

Если h: G → G является гомоморфизмом групп, мы называем его эндоморфизмом G. Если же оно и биективно, а следовательно, является изоморфизмом, оно называется автоморфизмом. Множество всех автоморфизмов группы G с композицией функций в качестве операции само образует группу, группу автоморфизмов G. Эта группа обозначается как Aut(G). Как пример, автоморфизм группы (Z, +) содержит только два элемента (тождественное преобразование и умножение на −1), и он изоморфен Z/2Z.

Эпиморфизм — это сюръективный гомоморфизм, то есть гомоморфизм на. Мономорфизм — это инъективный гомоморфизм, то есть гомоморфизм один-к-одному.

Если G и H — абелевы (т.е. коммутативные) группы, то множество Hom(G, H) всех гомоморфизмов из G в H само по себе является абелевой группой — сумма h + k двух гомоморфизмов определяется как

(h + k)(u) = h(u) + k(u) для всех u из G.

Коммутативность H нужна для доказательства, что h + k является снова гомоморфизмом групп.

Также гомоморфизмы совместимы с композицией гомоморфизмов в следующем смысле: если f принадлежит Hom(K, G), h, k являются элементами Hom(G, H), и g принадлежит Hom(H,L), то

(h + k) o f = (h o f) + (k o f)   и    g o (h + k) = (g o h) + (g o k).

Это показывает, что множество End(G) всех эндоморфизмов абелевой группы образует кольцо, кольцо эндоморфизмов группы G. Например, кольцо эндоморфизмов абелевой группы, состоящее из прямой суммы m копий Z/nZ, изоморфно кольцу матриц m × m с элементами из Z/nZ. Упомянутая выше совместимость также показывает, что категория всех абелевых групп с гомоморфизмами образует предаддитивную категорию. Существование прямых сумм и ядер с хорошо обусловленным поведением делает эту категорию примером абелевой категории.

• Фундаментальная теорема о гомоморфизмах

• D. S. Dummit, R. Foote. Abstract Algebra. — 3. — Wiley, 2004. — С. 71-72. — ISBN 9780471433347.
• Ленг С. Алгебра. — Москва: Мир, 1968.