Теорема Коши (теория групп)

Сначала докажем эту теорему в частном случае, когда группа G абелева, затем в общем случае. Оба раза теорема будет доказана индукцией по n = |G|, начиная с n = p. База тривиальна, так как любой нетождественный элемент имеет порядок p.

Если G абелева, то рассмотрим любой нетождественный элемент a и порождённую им циклическую подгруппу H. Если p делит |H|, то a^|H|/p является искомым элементом порядка p. Иначе p делит не порядок |H|, а порядок [G:H] факторгруппы G/H. Тогда по индуктивному предположению факторгруппа содержит элемент порядка p. Им является один из классов xH, где x лежит в G. Если он имеет порядок m в группе G, то ${\displaystyle m\vdots p}$: благодаря тому, что в группе G x^m = e, (xH)^m = eH в факторгруппе G/H. Поэтому p делит m; аналогично x^m/p окажется элементом порядка p в группе G, что заканчивает доказательство в абелевом случае.

В общем случае пусть группа Z является центром группы G. Тогда Z окажется абелевой. Если её порядок кратен p,то она, как мы уже видели, содержит элемент порядка p. Значит, этот элемент имеет порядок p и в группе G. Иначе p не делит Z. Так как p делит |G|, а G разбивается на Z и остальные классы сопряжённости, один из этих классов содержит элемент a, размер чьего класса не делится на p. Но легко показать, что его размер равен [G : C_G(a)] и не кратен p. Поэтому p делит порядок не совпадающего с группой G централизатора C_G(a) элемента a в группе G. Но по индуктивному предположению в централизаторе лежит искомый элемент порядка p, что и требовалось доказать.

В этом варианте мы воспользуемся тем фактом, что действие циклической группы простого порядка p порождает только орбиты размеров 1 и p, что сразу следует из теоремы о стабилизаторах орбит.

Подействуем нашей группой на множество решений уравнения

${\displaystyle X=\{\,(x_{1},\ldots ,x_{p})\in G^{p}:x_{1}x_{2}\cdots x_{p}=e\,\}}$

т.е. на множество последовательностей из p элементов группы G, чьё произведение равно 1. Такая последовательность однозначно задаётся всеми элементами, кроме последнего, который обратен произведению остальных. Также понятно, что эти p − 1 элементов можно выбирать произвольным способом, и в множестве X имеется |G|^p−1 элементов, и их количество кратно p.

Теперь заметим, что в группе ab = e, если и только если ba = e. Поэтому, если ${\displaystyle x_{1}x_{2}\cdots x_{p}=e}$, то ${\displaystyle x_{2}\cdots x_{p}x_{1}=e}$. Значит, циклические перестановки компонентов элемента множества X снова породят элементы X. Это позволяет задать действие циклической группы C_p порядка p на множестве X с помощью перестановки компонентов. Иными словами, порождающий группу C_p элемент переводит

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{p})\mapsto (x_{2},\ldots ,x_{p},x_{1})}$.

Очевидно, при таком действии орбиты в X имеют размеры 1 или p. Орбита имеет размер 1, если и только если её единственный элемент имеет вид ${\displaystyle (x,x,\ldots ,x)}$ и ${\displaystyle x^{p}=e}$. Так как количество элементов X равно сумме количеств элементов в орбитах, количество элементов ${\displaystyle x}$, для которых ${\displaystyle x^{p}=e}$, кратно p. Так как одним из них является единичный элемент, всего существует хотя бы ${\displaystyle p}$ элементов, хотя бы p − 1 из которых не равен единичному, а имеет порядок p. Теорема доказана.

Абелева простая группа может быть только циклической простого порядка. Действительно, в любой такой группе G все её подгруппы нормальны. Значит, если она проста, то все её нормальные подгруппы — либо единичная, либо она сама. если |G| = 1, то G сама является единичной. Иначе в ней есть неединичный элемент a ∈ G, и циклическая группа ${\displaystyle \langle a\rangle }$ является неединичной подгруппой G. Значит, ${\displaystyle G=\langle a\rangle .}$ Пусть теперь порядок группы ${\displaystyle \langle a\rangle }$ равен n. Если он бесконечен, то

${\displaystyle G=\langle a\rangle \supsetneqq \langle a^{2}\rangle \supsetneqq \{e\},}$ что невозможно.

Значит, n конечно. Если n составное, то оно кратно простому q, меньшему n. Но тогда существует подгруппа H порядка q, что противоречит условию. Значит, n просто.