Индекс подгруппы

Индекс подгруппы $H$ в группе $G$ ― число классов смежности в каждом (правом или левом) из разложений группы $G$ по этой подгруппе $H$ (в бесконечном случае ― мощность множества этих классов).

Индекс подгруппы $H$ в группе $G$ обычно обозначается $[G:H]$ .

Связанные определения

Если число смежных классов конечно, то $H$ называется подгруппой конечного индекса в $G$ .

Свойства

Пересечение конечного числа подгрупп конечного индекса само имеет конечный индекс (теорема Пуанкаре).
Произведение порядка подгруппы $H$ $\text{[math]}$ на её индекс $[G:H]$ $\text{[math]}$ равно порядку группы $G$ $\text{[math]}$ (теорема Лагранжа).
- Это соотношение имеет место как для конечной группы $G$ , так и в случае бесконечной $G$ ― для соответствующих мощностей.
Формула Дея — рекурсивная формула для выражения числа $N_{n}$ подгрупп данного индекса данной группы $G$ через число гомоморфизмов $H_{n}$ из $G$ в симметрическую группу $S_{n}$ .
$N_{n}={\frac {H_{n}}{(n-1)!}}-\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {N_{i}{\cdot }H_{n-i}}{(n-i)!}}$

Литература

Wilfried Imrich, On the number of subgroups of given index in $SL_{2}(\mathbb {Z} )$ , Archiv der Mathematik, December 1978, Volume 31, Number 1, 224-231

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.