Алгебраически замкнутое поле

• В алгебраически замкнутом поле ${\displaystyle \mathbb {K} }$ каждый многочлен степени n имеет ровно n (с учётом кратности) корней в ${\displaystyle \mathbb {K} }$. Иначе говоря, каждый неприводимый многочлен из кольца многочленов ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$ имеет степень 1. См. также теорема Безу.
• Конечные поля не могут быть алгебраически замкнутыми. Действительно, можно рассмотреть многочлен конечной степени, корнями которого являются все элементы поля. Если к нему прибавить 1, то полученный многочлен не будет иметь корней.
• Алгебраическим замыканием поля вещественных чисел является поле комплексных чисел. Его алгебраическая замкнутость устанавливается основной теоремой алгебры.
• Алгебраическим замыканием поля рациональных чисел является поле алгебраических чисел.
• Поле арифметических чисел алгебраически замкнуто.

Одна из возможных конструкций алгебраического замыкания для произвольного поля была построена Эмилем Артином.

Пусть задано поле ${\displaystyle \mathbb {K} }$. Требуется построить алгебраическое замыкание этого поля.

Определим ${\displaystyle F\subset \mathbb {K} [x]}$ как множество всех неприводимых многочленов над полем ${\displaystyle \mathbb {K} }$. Каждому многочлену поставим в соответствие переменную ${\displaystyle x_{f}}$. Обозначим за ${\displaystyle X}$ множество всех таких переменных ${\displaystyle X=\{x_{f}|f\in F\}}$. Образуем кольцо многочленов ${\displaystyle \mathbb {K} [X]}$. Можно показать, что идеал ${\displaystyle I}$, порождённый всеми многочленами вида ${\displaystyle f(x_{f})}$, не является единичным. Тогда мы можем перейти к максимальному идеалу ${\displaystyle I'}$, содержающему идеал ${\displaystyle I}$ (здесь мы пользуемся аксиомой выбора), и получить поле ${\displaystyle \mathbb {K_{1}} =\mathbb {K} [X]/I'}$. Если отождествить многочлены-константы с элементами основного поля, то получаем ${\displaystyle \mathbb {K} \subset \mathbb {K_{1}} }$.

На поле ${\displaystyle \mathbb {K_{1}} }$ можно смотреть как на поле, полученное присоединением к полю ${\displaystyle \mathbb {K} }$ по одному корню каждого неприводимого многочлена. Чтобы присоединить остальные корни, необходимо повторять эту конструкцию. Повторим её для поля ${\displaystyle \mathbb {K_{1}} }$ и получим поле ${\displaystyle \mathbb {K_{2}} }$. Повторяя это ${\displaystyle n}$ раз можно получить поле ${\displaystyle \mathbb {K_{n}} }$. Таким образом, мы имеем башню полей:

${\displaystyle \mathbb {K} \subset \mathbb {K_{1}} \subset \mathbb {K_{2}} \subset \ldots \subset \mathbb {K_{n}} \subset \mathbb {K_{n+1}} \subset \ldots }$

Объединение всех этих полей даст поле ${\displaystyle \mathbb {K_{\infty }} =\bigcup _{n=0}^{\infty }\mathbb {K_{n}} }$. Алгебраическая замкнутость этого поля очевидна.[1]

• Теория Галуа
• Замыкание (алгебра)