Замыкание (алгебра)

В общей алгебре замыкание множества относительно заданного набора алгебраических операций — минимально возможное (то есть не содержащее других подобных) расширение заданного множества, в котором любое применение этих операций к элементам такого расширения не выходит за его пределы. Минимальное расширение всегда будет существовать как пересечение всех описанных расширений.

Формально, пусть ${\displaystyle M}$ — подмножество носителя ${\displaystyle A}$ некоторой алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {A}}=\langle A,\Sigma \rangle }$. Тогда замыканием множества ${\displaystyle M}$ относительно сигнатуры ${\displaystyle \Sigma }$ называется минимальная подалгебра ${\displaystyle \langle A_{0},\Sigma \rangle \subseteq {\mathfrak {A}}}$, содержащая ${\displaystyle M}$ (${\displaystyle M\subseteq A_{0}}$).

Примеры:

• Замыканием множества ${\displaystyle \{1\}}$ относительно операции сложения будет множество всех натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$.
• Замыканием множества ${\displaystyle \{1\}}$ относительно операций сложения и вычитания будет множество всех целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$,
• Замыкание множества ${\displaystyle \{0\}}$ относительно сложения, умножения или обеих операций вместе совпадает с ним самим.

Множество, совпадающее со своим замыканием, называется алгебраически замкнутым (относительно заданного набора операций).

Примеры:

• Подгруппа замкнута относительно групповой операции.
• Подмножество натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ в множестве целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ замкнуто относительно операции сложения, но не является замкнутым относительно операции вычитания.