Алгебра (универсальная алгебра)

Для универсальных алгебр имеет место теорема о гомоморфизме: если ${\displaystyle \varphi :A\rightarrow A'}$ — гомоморфизм алгебр, а ${\displaystyle \theta }$ — ядерная конгруэнция ${\displaystyle \varphi }$ (то есть ${\displaystyle \theta =\{(x,y)\in A\times A|\varphi (x)=\varphi (y)\}}$, то факторалгебра ${\displaystyle A/\theta }$ изоморфна ${\displaystyle A'}$.

Для универсальных алгебр исследованы сопутствующие структуры: группа автоморфизмов ${\displaystyle \mathbf {Aut} A}$, моноид эндоморфизмов ${\displaystyle \mathbf {End} A}$, решётка подалгебр ${\displaystyle \mathbf {Sub} A}$, решётка конгруэнций ${\displaystyle \mathbf {Con} A}$, в частности, показано, что для любой группы ${\displaystyle G}$ и решёток ${\displaystyle L_{0}}$ и ${\displaystyle L_{1}}$ существует такая универсальная алгебра ${\displaystyle A}$, что ${\displaystyle G\cong \mathbf {Aut} A}$, ${\displaystyle L_{0}\cong \mathbf {Sub} A}$, ${\displaystyle L_{1}\cong \mathbf {Con} A}$.

Универсальная алгебра с одной бинарной алгебраической операцией называется группоидом (магмой).

• Теоремы об изоморфизме

• Кон П. Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1969. — 351 с.
• Артамонов В. А. и др. Общая алгебра, в 2-х томах. — М.: Наука, 1990—1991. — 592 с + 480 с. с.
• Скорняков Л. А. Универсальная алгебра — статья из Математической энциклопедии