Операция (математика)

Операция ${\displaystyle f}$ — отображение, областью определения которого является прямое произведение нескольких множеств. Математически операцию можно записать как отображение ${\displaystyle f\colon D\subseteq \underbrace {A\times A\times \cdots \times A} _{n}\to B}$ (${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle A}$ могут совпадать), где ${\displaystyle n}$ называется арностью операции.[1]

Операции различаются по количеству множеств, декартово произведение которых является её областью определения. Например, операция может быть унарная, если она отображает один элемент множества на один элемент множества, или бинарная, если сопоставляет двум элементам множества один элемент.

Алгебраической операцией называется операция ${\displaystyle f}$, у которой область определения равна ${\displaystyle n}$-й декартовой степени некоторого множества ${\displaystyle A,}$ где ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ — арность, а область значений равна этому множеству ${\displaystyle A,}$ то есть ${\displaystyle f\colon A^{n}\to A}$.[2]

Операции могут обладать или не обладать различными свойствами. Например:

• коммутативность (переместительное свойство) — свойство операции «${\displaystyle \circ }$», когда ${\displaystyle a\circ b=b\circ a;}$
• антикоммутативность — например, операция вычитания, потому что ${\displaystyle a-b=-(b-a);}$
• ассоциативность (сочетательное свойство) — свойство операции «${\displaystyle \circ }$», когда ${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c);}$
• дистрибутивность (распределительное свойство) — например, операция умножения относительно сложения, так как ${\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c;}$
• идемпотентность — если повторная операция уже не изменяет объект, например взятие по модулю: ${\displaystyle |x|={\big |}|x|{\big |}={\Big |}{\big |}|x|{\big |}{\Big |}=\ldots }$

В совокупности коммутативность и антикоммутативность не исчерпывают свойства всех возможных операций: например, возведение в степень не является коммутативной операцией, так как, например, ${\displaystyle 2^{3}\neq 3^{2},}$ но в то же время не является антикоммутативной: к примеру, ${\displaystyle 2^{4}\neq {\color {Red}-}4^{2}.}$

• Исследование операций
• Гипероператор