Тетрация
Тетра́ция (гиперопера́тор-4) в математике — итерационная функция экспоненты, следующий гипероператор после возведения в степень. Тетрация используется для описания больших чисел.
Термин «тетрация», состоящий из слов «тетра-» (четыре) и «итерация» (повторение), был впервые применён английским математиком Рубеном Гудстейном в 1947 году[1].
Определения
Тетрация как степенная башня
Для любого положительного вещественного числа и неотрицательного целого числа , тетрацию можно определить рекуррентно:
Согласно данному определению, вычисление тетрации, записанной как «степенная башня», возведение в степень начинается с самых дальних уровней к начальному (в данной системе обозначений, с самого наивысшего показателя степени):
Или:
При этом, так как возведение в степень не является ассоциативной операцией, то вычисление выражения в другом порядке приведёт к другому ответу:
Или:
Таким образом, степенные башни должны вычисляться сверху вниз (или справа налево), то есть, иначе говоря, они обладают правой ассоциативностью.
Тетрация как гипероператор
Тетрация является четвёртой по счёту гипероперацией:
- сложение:
- умножение:
- возведение в степень:
- тетрация:
Здесь каждая операция является итерацией предыдущей.
Свойства
- Тетрация не считается элементарной функцией (за исключением случаев с постоянным натуральным показателем, когда тетрация выражается в виде степенной башни постоянной высоты).
- В силу некоммутативности тетрация имеет две обратных операции — суперлогарифм и суперкорень (аналогично тому, как возведение в степень имеет две обратные функции: арифметический корень и логарифм).
Для тетрации в общем случае неверны следующие характерные для предыдущих операторов свойства:
- , например: , но .
- не равно ни , ни , например: , так как .
Примечание: однако, верно или .
- Тетрация минус единицы равна минус единице:
Терминология
Существует несколько терминов для определения понятия тетрация и за каждым из них стоит своя логика, но некоторые из них не стали общепринятыми в силу тех или иных причин. Ниже приведено несколько подобных примеров.
- Термин «тетрация», использованный Рубеном Гудстейном в 1947 году в работе «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory» (обобщение рекуррентных представлений в теореме Гудстейна, используемых для высших операторов), имеет доминирующее положение в терминологии. Также этот термин был популяризован в работе Руди Руккера (англ. Rudy Rucker) «Infinity and the Mind».
- Термин «супервозведение в степень» (англ. superexponentiation) был опубликован Бромером (англ. Bromer) в его работе «Superexponentiation» в 1987 году.[2] Данный термин был ранее использован Эдом Нельсоном (англ. Ed Nelson) в его книге «Предикативная Арифметика» (англ. «Predicative Arithmetic»)[3].
- Термин «гиперстепень» (англ. hyperpower)[4] есть естественная комбинация понятий «гипер-» и «степень», который подходящим образом описывает тетрацию. Проблема лежит в понятии самого термина «гипер» относительно иерархии гипероператоров. Когда мы рассматриваем гипероператоры, термин «гипер» относится ко всем рангам, а термин «супер» относится к рангу 4, или тетрации. Таким образом, при данных обстоятельствах, понятие «гиперстепень» может ввести в заблуждение, так как оно относится только к понятию тетрация.
- Термин «степенная башня» (англ. power tower)[5] иногда используется, в форме «степенная башня порядка » для .
Тетрацию также часто путают с другими тесно связанными функциями и выражениями. Ниже приведено несколько связанных терминов:
Форма Терминология Тетрация Итерационные экспоненты Вложенные экспоненты (также башни) Бесконечные экспоненты (также башни)
В первых двух выражениях есть основание, и количество появляющихся есть высота. В третьем выражении, есть высота, но все основания разные.
Обозначения
Системы записи, в которых тетрация может быть использована (некоторые из них позволяют использование даже более высоких итераций), включают в себя:
Имя | Форма | Описание |
---|---|---|
Стандартная форма записи | Использована Мауером (Maurer) [1901] и Гудштейном [1947]; популяризовано в книге Руди Рюкера «Infinity and the Mind». | |
Стрелочная нотация Кнута | Позволяет удлинение путём добавления добавочных или индексированных стрелочек, является более мощным способом. | |
Цепочка Конвея | Позволяет удлинение путём прибавления 2 (эквивалентно вышеописанному способу), но также возможно даже более мощный способ записи, если увеличивать цепочку. | |
Функция Аккермана | Допускает особый случай в записи в терминах функции Аккермана. | |
Итерируемая экспоненциальная форма записи | Позволяет простое удлинение до итерационных экспонент начиная со значений отличных от 1. | |
Обозначения Хусменд (англ. Hooshmand)[6] | ||
Система записи гипероператорами | Позволяет удлинение путём прибавления 4; это даёт семейство гипероператоров. | |
Система записи ASCII | a^^n |
Так как запись стрелочка наверх используется идентично обозначению корректурного знак вставки (^ ), оператор тетрация может быть записан в виде (^^ ). |
Нотация массивов Бауэрса/Бёрда[7] | {a, b,2} | {a, b, c} = a^^^…^^^b (c стрелок сверхстепени). |
Одна из вышеприведённых систем использует систему записи итерированных экспонент; в общем случае это определяется следующим образом:
Не так много обозначений существует для итерированных экспонент, но несколько из них показаны ниже:
Имя | Форма | Описание |
---|---|---|
Стандартная форма записи | Система записи и итерационная система записи была введена Эйлером. | |
Стрелочная нотация Кнута | Позволяет для суперстепеней и суперэкспоненциальных функций увеличивать число стрелочек. | |
Гипер-Е нотация | E(a)x#n | |
Система записи Иоанна Галидакиса (англ. Ioannis Galidakis) | Допускает использование больших выражений в основании.[8] | |
ASCII (добавочный) | a^^n@x |
Основана на взгляде, что итерационная экспонента есть добавочная тетрация. |
ASCII (стандартный) | exp_a^n(x) |
Основана на стандартной форме записи. |
Примеры
В нижеприведённой таблице большинство значений слишком огромны, чтобы их записать в экспоненциальном представлении, по этой причине используется система записи в виде итерационных экспонент, чтобы представить их с основанием 10. Значения, содержащие десятичную запятую, являются приблизительными. Например, четвёртая тетрация от 3 (то есть ) начинается цифрами 1258, заканчивается цифрами 39387 и имеет 3638334640025 цифр, последовательность A241292 в OEIS.
1 1 1 1 2 4 16 65 536 3 27 7 625 597 484 987 4 256 5 3 125 6 46 656 7 823 543 8 16 777 216 9 387 420 489 10 10 000 000 000
Открытые проблемы
- Неизвестно, являются ли nπ или ne целыми числами при каком-либо натуральном n > 4. Неизвестно даже, является ли целым.
- Неизвестно, может ли быть рациональным числом, если — целое число, большее 3, а — рациональное, но не целое число (для ответ отрицателен)[9].
- Ни для какого целого неизвестно, является ли положительный корень уравнения рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом.
Примечания
- Goodstein R. L. Transfinite ordinals in recursive number theory (неопр.) // Journal of Symbolic Logic. — 1947. — Т. 12. — doi:10.2307/2266486.
- Bromer N. Superexponentiation (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 1987. — Vol. 60, no. 3. — P. 169—174.
- Nelson E. Predicative Arithmetic. — Princeton University Press, 1986.
- MacDonnell J. F. Somecritical points of the hyperpower function (англ.) // International Journal of Mathematical Education : journal. — 1989. — Vol. 20, no. 2. — P. 297—305.
- Weisstein, Eric W. Power Tower (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Hooshmand M. H. Ultra power and ultra exponential functions (неопр.) // Integral Transforms and Special Functions. — 2006. — Т. 17, № 8. — С. 549—558. — doi:10.1080/10652460500422247.
- http://mrob.com/users/chrisb/Linear_Array_Notation.pdf
- Galidakis I. On Extending hyper4 and Knuth’s Up-arrow Notation to the Reals Архивная копия от 25 мая 2006 на Wayback Machine.
- Marshall, Ash J., and Tan, Yiren, «A rational number of the form aa with a irrational», Mathematical Gazette 96, March 2012, pp. 106—109.
Ссылки
- Сайт про тетрацию Эндрю Робинса.
- Сайт про тетрацию Даниэля Гэйслера.
- Форум по обсуждению тетрации.
- Кузнецов Д. Тетрация как специальная функция // Владикавказский математический журнал. — 2010.