Суперкорень

В математике суперко́рень — это одна из двух обратных функций тетрации.

Так же как возведение в степень имеет две обратных функции (корень и логарифм), так и тетрация имеет две обратных функции: суперкорень и суперлогарифм. Это обусловлено некоммутативностью гипероператора при . Суперкорень не является элементарной функцией.

Определение

Для любого неотрицательного целого числа суперкорень -ой степени из можно определить, как одно из решений уравнения: .

График функции суперкорня второй степени

Суперкорень — неоднозначная функция. Так при и уравнение вида имеет два суперкорня из , причём оба они будут положительны и меньше . Эта двойственность значений объясняется тем, что функция немонотонна.

Суперкорень не всегда можно извлечь даже из положительного числа, что является следствием наличия у функций вида глобального минимума. Например, при производная функции имеет одну точку экстремума , из-за чего нахождение значений суперкорня второй степени из при становится невозможным (см. график).

Примеры

Примеры извлечения суперкорня из положительного действительного числа:

  • Суперкорень четвёртой степени из 65536 равен 2, так как
  • Суперкорень второй степени из 27 равен 3, так как
  • Суперкорень второй степени из имеет два значения: и , так как

Суперкорень второй степени и функция Ламберта

Функция суперкорня второй степени выражается через W-функцию Ламберта[1]. А именно решением уравнения является

.

Так как функция Ламберта является многозначной функцией на интервале , то и извлечения суперкорня второй степени является неоднозначной на .

Открытые проблемы

Примечания

  1. Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; Knuth, D. E. On the Lambert W function (неопр.) // Advances in Computational Mathematics. — 1996. Т. 5. С. 333. doi:10.1007/BF02124750.

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.