Возведение в степень

Все приведенные ниже основные свойства возведения в степень выполняются для натуральных, целых, рациональных и вещественных чисел[3]. Для комплексных чисел, в силу многозначности комплексной операции, они выполняются только в случае натурального показателя степени.

• ${\displaystyle a^{1}=a}$
• ${\displaystyle \left(ab\right)^{n}=a^{n}b^{n}}$
• ${\displaystyle \left({a \over b}\right)^{n}={{a^{n}} \over {b^{n}}}}$
• ${\displaystyle a^{n}a^{m}=a^{n+m}}$
• ${\displaystyle \left.{a^{n} \over {a^{m}}}\right.=a^{n-m}}$
• ${\displaystyle \left(a^{n}\right)^{m}=a^{nm}}$.

Запись ${\displaystyle a^{n^{m}}}$ не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть, в общем случае,${\displaystyle (a^{n})^{m}\neq a^{\left({n^{m}}\right)}}$ Например, ${\displaystyle (2^{2})^{3}=4^{3}=64}$, а ${\displaystyle 2^{\left({2^{3}}\right)}=2^{8}=256}$. В математике принято считать запись ${\displaystyle a^{n^{m}}}$ равнозначной ${\displaystyle a^{\left({n^{m}}\right)}}$, а вместо ${\displaystyle (a^{n})^{m}}$ можно писать просто ${\displaystyle a^{nm}}$, пользуясь предыдущим свойством. Впрочем, некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения.

Возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, ${\displaystyle a^{b}\neq b^{a}}$, например, ${\displaystyle 2^{5}=32}$, но ${\displaystyle 5^{2}=25.}$

Операция обобщается на произвольные целые числа, включая отрицательные и ноль[4]::

${\displaystyle a^{z}={\begin{cases}a^{z},&z>0\\1,&z=0,a\neq \;0\\{\frac {1}{a^{|z|}}},&z<0,a\neq \;0\end{cases}}}$

Результат не определён при ${\displaystyle a=0}$ и ${\displaystyle z\leqslant 0}$.

Возведение в рациональную степени ${\displaystyle p/q,}$ где ${\displaystyle p}$ — целое число, а ${\displaystyle q}$ — натуральное, определяется следующим образом[4]:

${\displaystyle a^{p \over q}=({\sqrt[{q}]{a}})^{p}}$.

Результат не определён при ${\displaystyle a=0}$ и ${\displaystyle p/q\leqslant 0.}$ Для отрицательных ${\displaystyle a}$ в случае нечётного ${\displaystyle p}$ и чётного ${\displaystyle q}$ в результате вычисления степени получаются комплексные числа.

Следствие: ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{1/n}.}$ Таким образом, понятие рациональной степени объединяет возведение в целочисленную степень и извлечение корня в единую операцию.

Если ${\displaystyle a\geqslant 0,r}$ — вещественные числа, причём ${\displaystyle r}$ — иррациональное число, возможно определить ${\displaystyle a^{r}}$ следующим образом: поскольку любое вещественное число можно приблизить, сверху и снизу, двумя рациональными числами, то есть можно подобрать для ${\displaystyle r}$ рациональный интервал ${\displaystyle [p,q]}$ с любой степенью точности, то общая часть всех соответствующих интервалов ${\displaystyle [a^{p},a^{q}]}$ состоит из одной точки, которая и принимается за ${\displaystyle a^{r}}$.

Полезные формулы:

${\displaystyle x^{y}=a^{y\log _{a}x}}$

${\displaystyle x^{y}=e^{y\ln x}}$

${\displaystyle x^{y}=10^{y\lg x}}$

Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции ${\displaystyle x^{y}}$, и для приближённого возведения в нецелую степень или для целочисленного возведения в степень, когда числа слишком велики для того, чтобы записать результат полностью.

Возведение комплексного числа в натуральную степень выполняется обычным умножением, и результат однозначен (см. формулу Муавра). Основой для более общего определения комплексной степени служит экспонента ${\displaystyle e^{z}}$, где ${\displaystyle e}$ — число Эйлера, ${\displaystyle z=x+iy}$ — произвольное комплексное число[5].

Определим комплексную экспоненту с помощью такого же ряда, как и вещественную:

${\displaystyle e^{z}=1+z+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+\cdots .}$

Этот ряд абсолютно сходится для любого комплексного ${\displaystyle z,}$ поэтому его члены можно как угодно перегруппировывать. В частности, отделим от него часть для ${\displaystyle e^{iy}}$:

${\displaystyle e^{iy}=1+iy+{\frac {(iy)^{2}}{2!}}+{\frac {(iy)^{3}}{3!}}+{\frac {(iy)^{4}}{4!}}+\cdots =\left(1-{\frac {y^{2}}{2!}}+{\frac {y^{4}}{4!}}-{\frac {y^{6}}{6!}}+\cdots \right)+i\left(y-{\frac {y^{3}}{3!}}+{\frac {y^{5}}{5!}}-\cdots \right).}$

В скобках получились известные из вещественного анализа ряды для косинуса и синуса, и мы получили формулу Эйлера:

${\displaystyle e^{z}=e^{x}e^{yi}=e^{x}(\cos y+i\sin y)}$

Общий случай ${\displaystyle a^{b}}$, где ${\displaystyle a,b}$ — комплексные числа, определяется через представление ${\displaystyle a}$ в показательной форме: ${\displaystyle a=re^{i(\theta +2\pi k)}}$ согласно определяющей формуле[5]:

${\displaystyle a^{b}=(e^{\operatorname {Ln} (a)})^{b}=(e^{\operatorname {ln} (r)+i(\theta +2\pi k)})^{b}=e^{b(\operatorname {ln} (r)+i(\theta +2\pi k))}.}$

Здесь ${\displaystyle \operatorname {Ln} }$ — комплексный логарифм, ${\displaystyle \ln }$ — его главное значение.

При этом комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно[5]. Неучёт этого обстоятельства может привести к ошибкам. Пример: возведём известное тождество ${\displaystyle e^{2\pi i}=1}$ в степень ${\displaystyle i.}$ Слева получится ${\displaystyle e^{-2\pi },}$ справа, очевидно, 1. В итоге: ${\displaystyle e^{-2\pi }=1,}$ что, как легко проверить, неверно. Причина ошибки: возведение в степень ${\displaystyle i}$ даёт и слева, и справа бесконечное множество значений (при разных ${\displaystyle k}$), поэтому правило ${\displaystyle \left(a^{b}\right)^{c}=a^{bc}}$ здесь неприменимо. Аккуратное применение формул определения комплексной степени даёт слева и справа ${\displaystyle e^{-2\pi k};}$ отсюда видно, что корень ошибки — путаница значений этого выражения при ${\displaystyle k=0}$ и при ${\displaystyle k=1.}$

Поскольку в выражении ${\displaystyle x^{y}}$ используются два символа (${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$), то его можно рассматривать как одну из трёх функций.

• Функция переменной ${\displaystyle x}$ (при этом ${\displaystyle y}$ — постоянная-параметр). Такая функция называется степенной. Обратная функция — извлечение корня.
• Функция переменной ${\displaystyle y}$ (при этом ${\displaystyle x}$ — постоянная-параметр). Такая функция называется показательной (частный случай — экспонента). Обратная функция — логарифм.
• Функция двух переменных ${\displaystyle f(x,y)=x^{y}.}$ Отметим, что в точке ${\displaystyle (0,0)}$ эта функция имеет неустранимый разрыв. В самом деле, вдоль положительного направления оси ${\displaystyle X,}$ где ${\displaystyle y=0,}$ она равна единице, а вдоль положительного направления оси ${\displaystyle Y,}$ где ${\displaystyle x=0,}$ она равна нулю.

Выражение ${\displaystyle 0^{0}}$ (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла, поскольку, как указано выше, функция ${\displaystyle f(x,y)=x^{y}}$ в точке (0, 0) разрывна. Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что это выражение равно 1. В частности, тогда разложение в ряд экспоненты:

${\displaystyle e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}}$

можно записать короче:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}.}$

Следует предостеречь, что соглашение ${\displaystyle 0^{0}=1}$ чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке.

В Европе сначала степень величины записывали словесными сокращениями (q или Q обозначало квадрат, c или C — куб, bq или qq — биквадрат, то есть 4-я степень и т. д.) или как произведение — например, ${\displaystyle x^{4}}$ изображалось как ${\displaystyle xxxx.}$ Отред записывал ${\displaystyle x^{5}-15x^{4}}$ следующим образом: ${\displaystyle 1qc-15qq}$ (если неизвестная всего одна, ей часто не присваивался буквенный значок)[6]. Немецкая школа коссистов для каждой степени неизвестной предлагала особый готический значок.

В XVII веке постепенно стала преобладать идея явно указывать показатель степени. Жирар (1629 год) для возведения в степень числа ставил показатель в круглых скобках перед этим числом, а если числа правее показателя не было, то это значило, что подразумевается наличие неизвестного в указанной степени[7]; например, ${\displaystyle (2)2+1(2)}$ у него означало ${\displaystyle 2^{2}+x^{2}}$. Варианты размещения показателя степени предлагали Пьер Эригон и шотландский математик Джеймс Юм, они записывали ${\displaystyle x^{4}}$ в виде ${\displaystyle x4}$ и ${\displaystyle x^{IV}}$ соответственно[8].

Современная запись показателя степени — правее и выше основания — введена Декартом в его «Геометрии» (1637), правда, только для натуральных степеней, больших 2 (возведение в квадрат ещё долгое время обозначалось по-старому, произведением). Позднее Валлис и Ньютон (1676) распространили декартову форму записи степени на отрицательные и дробные показатели, трактовка которых к этому времени уже была известна из трудов Орема, Шюке, Стевина, Жирара и самого Валлиса. К началу XVIII столетия альтернативы для записи степеней «по Декарту», как выразился Ньютон в «Универсальной арифметике», «вышли из моды» (out of fashion). Показательная функция, то есть возведение в переменную степень, появилась сначала в письмах, а потом и в трудах Лейбница (1679). Возведение в мнимую степень обосновал Эйлер (1743)[8][9].

С появлением компьютеров и компьютерных программ возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень в «двухэтажном» виде. В связи с этим изобрели особые значки для обозначения операции возведения в степень. Первым таким значком были две звёздочки: «**», используемые в языке Фортран. В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки: «↑» (стрелки Кну́та). В языке Бейсик предложен символ «^» («циркумфлекс», он же «карет»), который приобрёл наибольшую популярность; его часто используют при написании формул и математических выражений не только в языках программирования и компьютерных системах, но и в простом тексте. Примеры:

3^2 = 9; 5^2 = 25; 2^3 = 8; 5^3 = 125.

Иногда в компьютерных системах и языках программирования значок возведения в степень имеет левую ассоциативность, в отличие от принятого в математике соглашения о правой ассоциативности возведения в степень. То есть некоторые языки программирования (например, программа Excel) могут воспринимать запись a^b^c, как (a^b)^c, тогда как другие системы и языки (например, Haskell, Perl, Wolfram|Alpha и многие другие) обработают эту запись справа налево: a^(b^c), как это принято в математике: ${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{\left(b^{c}\right)}}$.

Некоторые знаки возведения в степень в языках программирования и компьютерных системах:

• x ↑ y: Алгол, некоторые диалекты Бейсика;
• x ^ y: Бейсик, J, MATLAB, R, Microsoft Excel, TeX, bc[К 2], Haskell[К 3], Lua, MathML и большинство систем компьютерной алгебры;
• x ^^ y: Haskell[К 4], D;
• x ** y: Ада, Bash, Кобол, Фортран, FoxPro, Gnuplot, OCaml, Perl, PL/I, PHP[К 5], Python, REXX, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Haskell[К 6], Turing, VHDL, ECMAScript[К 7][К 8], AutoHotkey[К 8], JavaScript;
• x⋆y: APL.

Во многих языках программирования (например, в Java, Си и Паскале) отсутствует операция возведения в степень, и для этой цели используют стандартные функции.