Формула Муавра

Формула Муавра для комплексных чисел $z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$ утверждает, что

z^{n}=r^{n}(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{n}=r^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi )

для любого $n\in \mathbb {Z}$ .

Исторически формула Муавра была доказана ранее формулы Эйлера:

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

однако немедленно следует из неё.

Применение

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-й степени из ненулевого комплексного числа:

z^{1/n}={\big [}r{\big (}\cos(\varphi +2\pi k)+i\sin(\varphi +2\pi k){\big )}{\big ]}^{1/n}=r^{1/n}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),

где $k=0,1,\dots ,n-1$ .

Из этой формулы следует, что корни $n$ -й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно $n$ . На комплексной плоскости, как видно из той же формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса ${\sqrt[{n}]{r}}$ с центром в нуле.

При $r=1$ из формулы Муавра можно вывести значения тригонометрических функций для кратных аргументов (например, синус и косинус двойного, тройного и т. д. углов).

История

Открыта английским математиком Абрахамом де Муавром.

См. также

Примечания

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.