Степенная функция

Для целых положительных показателей ${\displaystyle a}$ степенную функцию можно рассматривать на всей числовой прямой, тогда как для отрицательных ${\displaystyle a}$, функция не определена в нуле (нуль является её особой точкой)[4].

Для рациональных ${\displaystyle a={\frac {p}{q}}\ (q>0)}$ область определения зависит от чётности ${\displaystyle q}$ и от знака ${\displaystyle p.}$ так как ${\displaystyle x^{a}={\sqrt[{q}]{x^{p}}}.}$:

• Если ${\displaystyle q}$ нечётно и ${\displaystyle p>0}$, то ${\displaystyle x^{p/q}}$ определён на всей числовой прямой.
• Если ${\displaystyle q}$ нечётно и ${\displaystyle p<0}$, то ${\displaystyle x^{p/q}}$ определён на всей числовой прямой, кроме нуля.
• Если ${\displaystyle q}$ чётно и ${\displaystyle p>0}$, то ${\displaystyle x^{p/q}}$ определён при неотрицательных ${\displaystyle x.}$
• Если ${\displaystyle q}$ чётно и ${\displaystyle p<0}$, то ${\displaystyle x^{p/q}}$ определён при положительных ${\displaystyle x.}$

Для вещественного показателя ${\displaystyle a}$ степенная функция ${\displaystyle x^{a}}$, вообще говоря, определена только при ${\displaystyle x>0.}$ Если ${\displaystyle a>0,}$ то функция определена и в нуле[4].

Графики степенной функции ${\displaystyle y=x^{n}}$ при целочисленном показателе ${\displaystyle n}$:

• 
  Параболы порядка n:     ${\displaystyle n=0}$      ${\displaystyle n=1}$      ${\displaystyle n=2}$      ${\displaystyle n=3}$      ${\displaystyle n=4}$      ${\displaystyle n=5}$
• 
  Гиперболы порядка n:     ${\displaystyle n=-1}$      ${\displaystyle n=-2}$      ${\displaystyle n=-3}$

При нечётном ${\displaystyle n}$ графики центрально-симметричны относительно начала координат, в котором имеет точку перегиба. При чётном ${\displaystyle n}$ степенная функция чётна: ${\displaystyle (-x)^{n}=x^{n},}$ её график симметричен относительно оси ординат[5].

Графики степенной функции при натуральном показателе ${\displaystyle n>1}$ называются параболами порядка ${\displaystyle n}$. При чётном ${\displaystyle n}$ функция всюду неотрицательна (см. графики). При ${\displaystyle n=1}$ получается функция ${\displaystyle y=kx}$, называемая линейной функцией или прямой пропорциональной зависимостью[3][5].

Графики функций вида ${\displaystyle y=x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}}$, где ${\displaystyle n}$ — натуральное число, называются гиперболами порядка ${\displaystyle n}$. При нечётном ${\displaystyle n}$ оси координат являются асимптотами гипербол. При чётном ${\displaystyle n}$ асимптотами являются ось абсцисс и положительное направление оси ординат (см. графики)[6]. При показателе ${\displaystyle -1}$ получается функция ${\displaystyle y={\frac {k}{x}}}$, называемая обратной пропорциональной зависимостью[3][5].

При ${\displaystyle a=0}$ функция вырождается в константу: ${\displaystyle y=1.}$

• 
  Графики степенных функций с рациональным показателем
• 
  Полукубические параболы ${\displaystyle y=ax^{3/2}}$

Возведение в рациональную степень ${\displaystyle p/q}$ определяется формулой:

${\displaystyle x^{p/q}={\sqrt[{q}]{x^{p}}}.}$

Если ${\displaystyle p=1}$, то функция представляет собой арифметический корень степени ${\displaystyle q}$:

${\displaystyle y=x^{1/q}={\sqrt[{q}]{x}}.}$

Пример: из третьего закона Кеплера непосредственно вытекает, что период ${\displaystyle T}$ обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью ${\displaystyle A}$ её орбиты соотношением: ${\displaystyle T=kA^{3/2}}$ (полукубическая парабола).

В интервале ${\displaystyle (0,\infty )}$ функция монотонно возрастает при ${\displaystyle a>0}$ и монотонно убывает при ${\displaystyle a<0.}$ Значения функции в этом интервале положительны[3].

Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема во всех точках, в окрестности которых она определена[4].

Производная функции: ${\displaystyle \left(x^{a}\right)^{\prime }=ax^{a-1}}$.

Ноль, вообще говоря, является особой точкой. Так, если ${\displaystyle a<n}$, то ${\displaystyle n}$-я производная в нуле не определена. Например, функция ${\displaystyle y={\sqrt {x}}=x^{1/2}}$ определена в нуле и в его правой окрестности, но её производная ${\displaystyle y={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$ в нуле не определена.

Неопределённый интеграл[4]:

• Если ${\displaystyle a\neq -1}$, то ${\displaystyle \int x^{a}dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C}$
• При ${\displaystyle a=-1}$ получаем: ${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx=\ln |x|+C}$