TREE(3)

Начало последовательности деревьев. Общее число деревьев в ней равно TREE(3).

В теории графов деревом называется граф, в котором все вершины соединены рёбрами (возможно, посредством других вершин) и отсутствуют циклы (последовательности рёбер, соединяющие какую-либо вершину саму с собой). В данном случае деревья являются корневыми, то есть имеют определённую вершину - корень. Это понятное, но неформальное определение дерева. Теорема Краскала[2] утверждает последовательность деревьев TREE(n), описанную следующими законами:

1. Каждое i-е дерево имеет не более i вершин.
2. Вершины имеют один из n видов; для TREE(3) удобно называть их «красными», «зелёными» и «синими».
3. Ни одно дерево не должно являться частью более позднего дерева или повторять его.

TREE(1) даёт единственное дерево с одной вершиной: если попытаться добавить ещё одно с двумя вершинами, при удалении любой из них получится первая. TREE(2)=3, в этой последовательности дерево с одной «красной» вершиной, с двумя «синими» и с одной «синей». Но начиная с TREE(3), происходит настоящий взрыв длины последовательности. Тем не менее, теорема Краскала утверждает, что при любом конечном n последовательность не будет бесконечной.

Интересно отметить, что первое дерево имеет одну «красную» вершину, и вне зависимости от n больше ни одно дерево не имеет «красных» вершин. Иначе, при удалении всех вершин, кроме этой «красной», получилось бы первое дерево.

Определим tree(n), слабую tree-функцию[3], как длину самой длинной последовательности из деревьев с вершинами одного цвета, описываемой следующими законами:

1. Каждое i-е дерево имеет не более i+n вершин.
2. Ни одно дерево не должно являться частью более позднего дерева или повторять его.

Известно[3], что ${\displaystyle tree(1)=2}$, ${\displaystyle tree(2)=5}$, ${\displaystyle tree(3)\geq 844424930131960}$, а ${\displaystyle tree(4)}$ уже больше числа Грэма.

Также известно[4], что TREE(3) намного больше, чем ${\displaystyle tree^{tree^{tree^{tree^{tree^{8}(7)}(7)}(7)}(7)}(7)}$ (верхний индекс в данном случае обозначает итерированную функцию).

Распространённым заблуждением является утверждение книги рекордов Гиннесса о том, что число Грэма — самое большое число, которое когда-либо использовалось в математическом доказательстве: эта информация давно устарела, так как число TREE(3) также используется в математическом контексте, и оно несоизмеримо больше числа Грэма. Для представления числа TREE(3) бесполезны не только башни степеней, но и нотации Кнута и Конвея. В массивной нотации Бёрда[5] TREE(3) можно примерно выразить как ${\displaystyle \{3,6,3[1[1\neg 1,2]2]2\}}$. Общая скорость роста функции TREE(n) оценивается как ${\displaystyle f_{\theta \left(\Omega ^{\omega }\omega \right)}(n)}$ в терминах быстрорастущей иерархии.

При этом TREE(3) далеко не самое большое число, встречавшееся в математических работах: в последующие годы описывались бо́льшие числа, например такие как SSCG(3), SCG(13)[6], а также числа, задаваемые с помощью невычислимых функций, такие, как число Райо.

• Friedman, Harvey M. (2002), Internal finite tree embeddings. Reflections on the foundations of mathematics (Stanford, CA, 1998), vol. 15, Lect. Notes Log., Urbana, IL: Assoc. Symbol. Logic, с. 60–91
• Gallier, Jean H. (1991), What's so special about Kruskal's theorem and the ordinal Γ₀? A survey of some results in proof theory, Ann. Pure Appl. Logic Т. 53 (3): 199–260, doi:10.1016/0168-0072(91)90022-E, <http://www.cis.upenn.edu/~jean/kruskal.pdf>
• Kruskal, J. B. (May 1960), Well-quasi-ordering, the tree theorem, and Vazsonyi's conjecture, Transactions of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) . — Т. 95 (2): 210–225, doi:10.2307/1993287, <http://www.ams.org/journals/tran/1960-095-02/S0002-9947-1960-0111704-1/S0002-9947-1960-0111704-1.pdf>
• Marcone, Alberto. Wqo and bqo theory in subsystems of second order arithmetic (англ.) // Reverse Mathematics : journal. — 2001. — Vol. 21. — P. 303—330.
• Nash-Williams, C. St.J. A. (1963), On well-quasi-ordering finite trees, Proc. Camb. Phil. Soc. Т. 59 (4): 833–835, DOI 10.1017/S0305004100003844
• Rathjen, Michael; Weiermann, Andreas. Proof-theoretic investigations on Kruskal's theorem (англ.) // Annals of Pure and Applied Logic : journal. — 1993. — Vol. 60, no. 1. — P. 49—88. — doi:10.1016/0168-0072(93)90192-g.
• Simpson, Stephen G. (1985), Nonprovability of certain combinatorial properties of finite trees, in Harrington, L. A.; Morley, M. & Scedrov, A. et al., Harvey Friedman's Research on the Foundations of Mathematics, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, North-Holland, с. 87–117
• Smith, Rick L. (1985), The consistency strengths of some finite forms of the Higman and Kruskal theorems, in Harrington, L. A.; Morley, M. & Scedrov, A. et al., Harvey Friedman's Research on the Foundations of Mathematics, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, North-Holland, с. 119–136