Деление (математика)

Воспользуемся определением натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств ${\displaystyle C,A,B,R}$ порождённых биекциями, с помощью скобок: ${\displaystyle [C],[A],[B],[R]}$. Тогда математическая операция «деление» определяется следующими образами:

1. ${\displaystyle \quad [C]=[A]:[B]=[\rightarrow (A/B)]\quad \&\quad [R]}$ — деление на равные части (отыскание числа элементов в каждом подмножестве разбиения), частным чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ называется число элементов каждого подмножества разбиения;
2. ${\displaystyle \quad [C]=[A]:[B]=[A/(\rightarrow B)]\quad \&\quad [R]}$ — деление по содержанию (отыскание числа подмножеств разбиения), частным чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ называется число (количество) подмножеств разбиения;

где: ${\displaystyle A/B}$ это — разбиение конечного множества на равночисленные попарно не пересекающиеся подмножества, такие что:

${\displaystyle B_{\alpha }=B_{\beta },}$${\displaystyle \quad \bigcup \limits _{\alpha \in C}B_{\alpha }+R=A,}$ ${\displaystyle \quad \bigcap _{\alpha ,\beta \in C}(B_{\alpha },B_{\beta },R)=\{\emptyset \},}$ для любых коэффициентов ${\displaystyle \alpha ,\beta \in C}$, таких что ${\displaystyle \alpha \not =\beta$ ;}

${\displaystyle R}$ — остаток (множество оставшихся элементов), ${\displaystyle \{\emptyset \}\leqslant R<B}$,

${\displaystyle \rightarrow }$ — нульарная операция "выделение элемента".

В случае, если одно натуральное число не делится на другое без остатка, говорится о делении с остатком. На остаток накладываются следующее ограничение (чтобы он был корректно, то есть однозначно, определён): ${\displaystyle 0\leqslant r<|b|}$, ${\displaystyle a=b\cdot c+r}$,

где: ${\displaystyle a}$ — делимое, ${\displaystyle b}$ — делитель, ${\displaystyle c}$ — частное, ${\displaystyle r}$ — остаток.

Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Арифметическая операция «деление» частична для множества натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$, (для полукольца натуральных чисел).

Примеры деления множества: верхний ряд — деление на равные части, нижний ряд — деление по содержанию.

Взаимосвязь деления натуральных чисел с разбиением конечных множеств на классы позволяет обосновывать выбор действия деления при решении задач, например, такого вида:

1. «12 карандашей разложили в 3 коробки поровну. Сколько карандашей в каждой коробке?». В задаче рассматривается множество, в котором 12 элементов. Это множество разбивается на 3 равночисленных подмножества. Требуется узнать число элементов в каждом таком подмножестве. Это можно найти при помощи деления — 12 кар. : 3 шт. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи - в каждой коробке по 4 карандаша.
2. «12 карандашей надо разложить в коробки, по 3 карандаша в каждую. Сколько коробок понадобится?». В задаче рассматривается множество из 12 элементов которое разбивается на подмножества, в каждом из которых по 3 элемента, требуется узнать число таких подмножеств. Его можно найти при помощи деления — 12 кар. : 3 кар. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи - понадобится 4 коробки.

Для деления натуральных чисел в позиционной системе обозначения чисел применяется алгоритм деления столбиком.

Деление произвольных целых чисел несущественно отличается от деления натуральных чисел — достаточно поделить их модули и учесть правило знаков.

Однако деление целых чисел с остатком определяется неоднозначно. В одном случае, (так же как и без остатка) рассматривают сначала модули и в результате остаток приобретает тот же знак, что делитель или делимое (например, ${\displaystyle -7/(-3)=2}$ с остатком (-1)); в другом случае понятие остатка напрямую обобщается и ограничения заимствуются из натуральных чисел:

${\displaystyle -7\equiv 2{\pmod {3}}}$.

Для устранения неоднозначности принято соглашение: остаток от деления всегда неотрицателен.

Замыкание множества целых чисел по операции деления приводит к расширению его до множества рациональных чисел. Это приводит к тому, что результатом деления одного целого числа на другое всегда является рациональное число. Более того, полученные числа (рациональные) уже полностью поддерживают операцию деления (замкнуты относительно неё).

Правило деления обыкновенных дробей: ${\displaystyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}={\frac {ad}{bc}}}$

Множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле, обозначается ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Множество вещественных чисел не является счётным, его мощность называется мощностью континуума. Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение[3] соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями:

${\displaystyle \alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\},}$

${\displaystyle \beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\},}$

определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: ${\displaystyle \alpha =[a_{n}]}$ и ${\displaystyle \beta =[b_{n}]}$, то их частным называют число ${\displaystyle \gamma =[c_{n}]}$, определённое частным последовательностей ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ и ${\displaystyle \{b_{n}\}}$:

${\displaystyle \gamma =\alpha$ :\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]:[b_{n}]=[a_{n}/b_{n}]} ,

вещественное число ${\displaystyle \gamma =\alpha$ :\beta } , удовлетворяет следующему условию:

${\displaystyle \forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q}$ ;~~~~(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a':b'\leqslant \alpha /\beta \leqslant a'':b'')\Rightarrow (a':b'\leqslant \gamma \leqslant a'':b'').}

Таким образом частное двух вещественных чисел ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ является такое вещественное число ${\displaystyle \gamma }$ которое содержится между всеми частными вида ${\displaystyle a':b'}$ с одной стороны и всеми частными вида ${\displaystyle a'':b''}$ с другой стороны[4]. Дедекиндово сечение позволяет однозначно определить результат деления.

На практике для того, чтобы разделить два числа ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$, необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. За приближенное значение частного чисел ${\displaystyle \alpha$ :\beta } берут частное указанных рациональных чисел ${\displaystyle a:b}$. При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$. Деление производится по алгоритму деления столбиком.

Абсолютная погрешность частного приближённых чисел: ${\displaystyle \Delta \left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {|b|\cdot \Delta a+|a|\cdot \Delta b}{b^{2}}}}$, абсолютная погрешность числа принимается равной половине последней единицы разряда этого числа.

Относительная погрешность частного равна сумме относительных погрешностей аргументов: ${\displaystyle \delta \left({\frac {a}{b}}\right)=\delta a+\delta b}$. Полученный результат округляют до первой верной значащей цифры, значащая цифра приближенного числа является верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример деления ${\displaystyle \gamma =\pi :e}$, с точностью до 3-го знака после запятой:

• Округляем данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
• Получаем: ${\displaystyle \pi \approx 3.1416,\ e\approx 2.7183}$;
• Делим столбиком: ${\displaystyle \gamma =\pi :e\approx 3.1416:2.7183\approx 1.1557}$;
• Округляем до 3-го знака после запятой: ${\displaystyle \gamma \approx 1.156}$.

На множестве пар вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$область значений функции деления ${\displaystyle c=a:b~}$графически имеет вид гиперболического параболоида — поверхности второго порядка[5].

График функции c=a : b

Так как ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} }$, то и для этих множеств область значений функции деления будет принадлежать этой поверхности.

Комплексное число z на комплексной плоскости.

Множество комплексных чисел с арифметическими операциями является полем и обычно обозначается символом ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Частным двух комплексных чисел в алгебраической форме записи, называется комплексное число, равное:

${\displaystyle z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {ab+de}{b^{2}+e^{2}}}+{\frac {db-ae}{b^{2}+e^{2}}}i,}$

где: ${\displaystyle z,z_{1},z_{2}}$ — комплексные числа, ${\displaystyle a,b,c,d,e,f\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle i}$ — мнимая единица; ${\displaystyle z_{2}\neq 0,~~~b+ei\neq 0}$.

На практике частное комплексных чисел находят умножением делимого и делителя на число, комплексно-сопряженное делителю:

${\displaystyle z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {(a+di)(b-ei)}{(b+ei)(b-ei)}}={\frac {ab+de}{b^{2}+e^{2}}}+{\frac {db-ae}{b^{2}+e^{2}}}i,}$${\displaystyle ~~z_{2}\neq 0,~~~b+ei\neq 0;}$

делитель становится действительным числом, а в числителе умножаются два комплексных числа, затем полученная дробь почленно делится. Результат определён для всех ${\displaystyle b+ei\neq 0=0+0i}$

Для того, чтобы разделить два комплексных числа в тригонометрической форме записи, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя, а из аргумента делимого вычесть аргумент делителя:

${\displaystyle z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {r_{1}(\cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})}{r_{2}(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2}),}$

Деление комплексных чисел на комплексной плоскости.

где: ${\displaystyle r_{n}=|z_{n}|=|x+yi|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};~~~\varphi _{n}=\operatorname {Arg} (z_{n})=\operatorname {arctg} {\biggl (}{\frac {x}{y}}{\biggr )}}$— модуль и аргумент комплексного числа; ${\displaystyle z_{2}\neq 0,~~~r_{2}\neq 0}$.

То есть модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент — разности аргументов делимого и делителя.

Деление комплексного числа ${\displaystyle z_{1}=a+di=r_{1}e^{i\varphi _{1}}}$ в показательной форме, на комплексное число ${\displaystyle z_{2}=b+ei=r_{2}e^{i\varphi _{2}}}$ сводится к повороту вектора, соответствующего числу ${\displaystyle z_{1}}$, на угол ${\displaystyle \operatorname {Arg} (z_{2})}$ и изменению его длины на ${\displaystyle |z_{2}|}$ раз. Для частного комплексных чисел в показательной форме верно равенство:

${\displaystyle z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {r_{1}e^{i\varphi _{1}}}{r_{2}e^{i\varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})};}$

где: ${\displaystyle e=2{,}718281828\dots }$ — число e; ${\displaystyle z_{2}\neq 0,~~~r_{2}\neq 0}$.

В экспоненциальной записи числа записываются в виде ${\displaystyle a=\pm x\cdot P^{\pm n}}$, где ${\displaystyle x}$ — мантисса, ${\displaystyle P^{n}}$ — характеристика числа, ${\displaystyle P}$ — основание системы счисления, ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$. Для деления двух чисел, которые записаны в экспоненциальной форме необходимо разделить мантиссы и характеристики: ${\displaystyle (a\cdot P^{n}):(b\cdot P^{k})=(a:b)\cdot (P^{n}:P^{k})={\frac {a}{b}}\cdot P^{n-k}.}$

Например:

${\displaystyle (6{,}34\cdot 10^{4}):~(2{,}16\cdot 10^{-2})=(6{,}34:~2{,}16)\cdot (10^{4}:10^{-2})\approx 2{,}935\cdot 10^{(4-(-2))}\approx 2{,}94\cdot 10^{4+2}\approx 2{,}94\cdot 10^{6}.}$