Угол

Два луча (BA и ВС), выходящие из общей вершины B, образуют на плоскости две области, являющиеся внутренними областями двух плоских углов

Плоскость, содержащая обе стороны угла, делится углом на две области. Каждая из этих областей, объединённая со сторонами угла, называется плоским углом (или просто углом, если это не вызывает разночтений). Один из плоских углов (обычно меньший из двух) иногда условно называют внутренним, а другой — внешним. Точки плоского угла, не принадлежащие его сторонам, образуют внутреннюю область плоского угла.

В другом, эквивалентном варианте определения плоским углом называется часть плоскости, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую лежащую в этой плоскости линию (которая называется линией, стягивающей данный плоский угол).

Часто для краткости углом называют также угловую меру, то есть число, определяющее величину угла.

Кроме наиболее часто встречающихся плоских углов, в качестве углов могут рассматриваться и более общие объекты — фигуры, образованные пересекающимися дугами, полуплоскостями и другими фигурами как в евклидовой, так и в других типах геометрии в метрических пространствах различной размерности.

«∠», обозначение угла в геометрии

Для обозначения угла имеется общепринятый символ: ${\displaystyle \angle ,}$ предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном. Символ содержится в Юникоде (U+2220 ∠ angle).

В математических выражениях углы часто обозначают строчными греческими буквами: α, β, γ, θ, φ и др. Как правило, данные обозначения также наносятся на чертёж для устранения неоднозначности в выборе внутренней области угла. Чтобы избежать путаницы с числом пи, символ π, как правило, для этой цели не используется. Для обозначения телесных углов (см. ниже) часто применяют буквы ω и Ω.

Также часто угол обозначают тремя символами точек, например ${\displaystyle \angle ABC.}$ В такой записи ${\displaystyle B}$ — вершина, а ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$ — точки, лежащие на разных сторонах угла. В связи с выбором в математике направления отсчёта углов против часовой стрелки, точки, лежащие на сторонах в обозначении угла принято перечислять также против часовой стрелки. Это соглашение позволяет обеспечить однозначность при различении двух плоских углов с общими сторонами, но различными внутренними областями. В тех случаях, когда выбор внутренней области плоского угла ясен из контекста, либо указывается другим способом, данное соглашение может нарушаться. См. вариации и обобщения.

Реже используются обозначения прямых, образующих стороны угла. Например, ${\displaystyle \angle (bc)}$ — здесь предполагается, что имеется в виду внутренний угол треугольника ${\displaystyle \angle BAC}$, α, который надо было бы обозначить ${\displaystyle \angle (cb)}$.

Так, для рисунка справа записи γ, ${\displaystyle \angle ACB}$ и ${\displaystyle \angle (ba)}$ означают один и тот же угол.

Иногда для обозначения углов используются строчные латинские буквы (a, b, c, …) и цифры.

На чертежах углы отмечаются небольшими одинарными, двойными или тройными дужками, проходящими по внутренней области угла с центрами в вершине угла. Равенство углов может отмечаться одинаковой кратностью дужек или одинаковым количеством поперечных штрихов на дужке. Если необходимо указать направление отсчёта угла, оно отмечается стрелкой на дужке. Прямые углы отмечаются не дужками, а двумя соединёнными равными отрезками, расположенными таким образом, что вместе со сторонами они образуют небольшой квадрат, одна из вершин которого совпадает с вершиной угла.

Угловая мера, позволяющая сравнивать плоские углы, может быть введена следующим образом. Два плоских угла называются равными (или конгруэнтными), если они могут быть совмещены так, что совпадут их вершины и обе стороны. От любого луча на плоскости в данную сторону можно отложить единственный угол, равный данному. Если один угол может быть размещён полностью внутри другого угла таким образом, что вершина и одна из сторон этих углов совпадают, то первый угол меньше второго. Назовём прилежащими два угла, расположенные так, что сторона одного совпадает со стороной другого (а значит, совпадают и вершины), но их внутренние области не пересекаются. Угол, составленный из несовпадающих сторон двух прилежащих углов, назовём сложенным из этих углов. Каждому углу можно поставить в соответствие число (угловую меру) таким образом, что:

• равным углам соответствует равная угловая мера;
• меньшему углу соответствует меньшая угловая мера;
• у угла, стороны которого совпадают (нулевого угла), угловая мера равна нулю (то же справедливо и для угла между параллельными прямыми);
• каждый ненулевой угол имеет определённую угловую меру, большую нуля;
• (аддитивность) угловая мера угла равна сумме угловых мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

В некоторых системах обозначений, если есть необходимость различать угол и его меру, для угла (геометрической фигуры) используют обозначение ${\displaystyle \angle ABC,}$ а для величины меры измерения этого угла — обозначение ${\displaystyle {\widehat {ABC}}.}$

Мера угла θ в радианах равна отношению длины стягивающей его дуги s к её радиусу r

Угол измеряют:

• в градусах, минутах, секундах;
• в радианах;
• в оборотах;
• в градах, минутах, секундах;
• в часах, минутах и секундах;
• в тысячных и делениях угломера;
• в румбах.

Наиболее распространённая градусная мера — градус, минута, секунда, в которой за 1° принимается 1/180 от развёрнутого угла (см. ниже), одна минута ${\displaystyle 1'=1^{\circ }/60}$, и одна секунда ${\displaystyle 1''=1'/60}$. Градусная мера применяется в элементарной геометрии (измерение углов на чертежах транспортиром), в геодезии по карте и на местности (для измерения углов на местности используют весьма точный прибор — универсал/теодолит).

Угол в 1 радиан

Радианная мера угла — отношение длины s стягивающей дуги к её радиусу r. Радианная мера используется в математическом анализе (например, как числовой аргумент тригонометрических функций и при определении числовых (табличных и графических) значений обратных аркфункций), в планиметрии и механике (при рассмотрении вращения около точки или оси и других процессов, описываемых с помощью тригонометрических функций, — колебаний, волн и так далее).

Углы можно измерять также в оборотах. Один оборот — это полный угол (то есть угол в 360 градусов). Про произвольный угол говорят, что он составляет x оборотов, если x — отношение длины s дуги, стягивающей угол, к длине L окружности, содержащей эту дугу.

Градовая мера измерения углов была предложена к применению исторически, в настоящее время почти нигде не используется, поскольку не вытеснила более распространённую шестидесятеричную градусную.

Измерение углов в градусной мере восходит к Древнему Вавилону, где использовалась шестидесятеричная система счисления, следы которой сохранились у нас в делении времени и углов. Один градус (1/360 полного угла) делится на 60 угловых минут (или минут дуги), в свою очередь минута делится на 60 угловых секунд (секунд дуги). Меньшие углы измеряются в дольных единицах секунды, образуемыми с помощью приставок СИ (угловая миллисекунда, угловая микросекунда и т.д.).

1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам.

В системе СИ основной единицей измерения угла является радиан.

Шкала компаса

В морской терминологии углы измеряются в румбах. 1 румб равен ¹⁄₃₂ от полной окружности (360 градусов) компаса, то есть 11,25 градуса, или 11°15′.

В астрономии угол прямого восхождения и часовой угол в экваториальной системе координат измеряются в часах, минутах и секундах (составляющих соответственно ¹⁄₂₄, ¹⁄₁₄₄₀ и ¹⁄_86 400 полной окружности); это связано с угловой скоростью осевого вращения Земли, составляющей приблизительно 1 оборот за 24 часа[2]. Таким образом, за один час (минуту, секунду) времени небесная сфера «поворачивается» примерно на 1 час (минуту, секунду) в угловой мере. Остальные угловые величины в астрономии выражаются обычно в градусах, минутах и секундах дуги. Одна секунда (минута) прямого восхождения равна 15 секундам (минутам) дуги.

В артиллерии и оружейном деле используются также тысячные и деления угломера.

В некоторых контекстах, таких как идентификация точки в полярных координатах или описание ориентации объекта в двух измерениях относительно его базовой ориентации, углы, отличающиеся на целое число полных оборотов, фактически являются эквивалентными. Например, в таких случаях можно считать эквивалентными углы 15° и 360015° (= 15° + 360°×1000). В других контекстах, таких как идентификация точки на спиральной кривой или описание совокупного вращения объекта в двух измерениях относительно его начальной ориентации, углы, отличающиеся на ненулевое целое число полных оборотов, не эквивалентны.

Некоторые плоские углы имеют специальные названия. Кроме вышеназванных единиц измерения (радиан, румб, градус и тому подобное), к ним относятся:

• квадрант (прямой угол, ¹⁄₄ окружности);
• секстант (¹⁄₆ окружности);
• октант (¹⁄₈ окружности; кроме того, в стереометрии октантом называется трёхгранный угол, образованный тремя взаимно перпендикулярными плоскостями),

Обозначение угла уклона дороги на дорожном знаке

Иногда углы (например, угол уклона поверхности) измеряют не собственно угловой мерой, а её тангенсом (или синусом), то есть отношением подъёма по наклонной плоскости к проекции на горизонталь пройденного по ней пути (или к самому этому пути). Для обычного случая малых углов уклона это отношение примерно равно углу, выраженному в радианах (tg α ≈ sin α ≈ α, при α < 0,1 разница между этими величинами менее 1 %). При этом отношение выражается обычно в процентах или промилле. Например, уклон дороги в 10 % означает, что на каждые 100 метров пути (в проекции на горизонталь) дорога поднимается на 10 м; угол к горизонту равен arctg(10/100) ≈ 5,71° ≈ 0,1 радиана. Такой способ измерения углов не является, строго говоря, угловой мерой, так как не обладает свойством аддитивности (см. выше). См. также приближения для малых углов.

Направление отсчёта углов

Стрелкой показано направление отсчёта углов

В математике и физике, обычно, положительным направлением отсчёта углов считается направление против часовой стрелки. Обычно, угол начинают измерять от луча, начало которого совпадает с центром системы координат (СК), а направление совпадает с положительным направлением оси абсцисс (в полярной СК, цилиндрической СК, сферической СК, СК на тригонометрической окружности и других).

В географии и геодезии за начало отсчёта углов по азимуту принято направление «на север»; угол отсчитывается по часовой стрелке. Таким образом, направлению «на восток» соответствует азимутальный угол 90°, «на юг» — 180°, «на запад» — 270°. В артиллерии предпочитают направление полярной оси «на юг» и соответствующий полярный угол называют также азимутом (направление «на запад» соответствует азимутальному углу 90°).

См. также: Тригонометрическая окружность

• 
  Острый угол
• 
  Тупой угол
• 
  Выпуклый угол
• 
  Прямой угол
• 
  Развёрнутый угол
• 
  Полный угол

В зависимости от величины углы называются следующим образом.

• Нулевой угол (0°); стороны нулевого угла совпадают, его внутренняя область — пустое множество.
• Острый угол (от 0° до 90°, не включая граничные значения).
• Прямой угол (90°); стороны прямого угла перпендикулярны друг другу.
• Тупой угол (от 90° до 180°, не включая граничные значения).
• Косой угол (любой, не равный 0°, 90°, 180° или 270°).
• Развёрнутый угол (180°); сторонами развёрнутого угла являются две полупрямые одной прямой, то есть два луча, направленных в противоположные стороны.
• Невыпуклый угол (от 0° до 180° включительно).
• Выпуклый угол (от 180° до 360°, не включая граничные значения).
• Полный угол (360°) — см. оборот (единица измерения).

Биссектрисой (от лат. bi- «двойное» и sectio «разрезание») угла называется луч, выходящий из вершины угла и проходящий через его внутреннюю область, который образует с его сторонами два равных угла. Расстояние любой точки биссектрисы от сторон угла одинаково (и, обратно, любая точка внутренней области угла, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе).

Термин плоский угол употребляется как синоним термина угол, определённого в начале статьи, для отличия его от употребляемого в стереометрии понятия телесного угла (в том числе двугранного, трёхгранного или многогранного угла).

Под свойствами плоских углов нередко понимают соотношения величин углов (смежных, дополнительных, прилегающих, вертикальных — см. ниже) в случае, когда углы лежат в одной плоскости (для планиметрии это подразумевается само собой, однако для стереометрии уточнение необходимо, иначе перечисленные ниже соотношения не имеют места, а сами углы, если не лежат в одной плоскости, не называются смежными или прилегающими (вертикальные всегда лежат в одной плоскости автоматически).

Плоские углы с (анти)параллельными сторонами

Углы с параллельными сторонами.

Углы, стороны которых попарно параллельны и сонаправлены (или попарно параллельны и противоположно направлены), равны друг другу. Пара углов, у которых одна пара сторон параллельна и сонаправлена друг другу, а вторая пара сторон параллельна и противоположно направлена, составляют в сумме по величине развёрнутый угол, то 180° (см. рисунок) — поскольку их можно параллельным переносом превратить в смежные углы («склеив» сонаправленные стороны).

Любой конкретной дуге окружности можно сопоставить единственный центральный и бесконечное множество вписанных углов.

• 
  Центральный угол
• 
  Вписанный угол

• Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Величина центрального угла равна градусной мере дуги, заключённой между сторонами этого угла.
• Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, ограниченной его сторонами. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол θ равен половине величины центрального угла 2θ, , опирающегося у основания на окружности на ту же самую дугу (розового цвета). То есть угол θ не меняет своей величины от вершины к вершине, взятой на окружности (зелёный и голубой углы). Внешний угол для вписанного с другой стороны угла окружности имеет ту же величину θ (коричневого цвета)

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося у основания на окружности на ту же самую дугу (см. рис.).

Величиной ориентированного угла между прямыми ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ (обозначение: ${\displaystyle \angle (AB,CD)}$) называют величину угла, на который нужно повернуть против часовой стрелки прямую ${\displaystyle AB}$ так, чтобы она стала параллельна прямой ${\displaystyle CD.}$ При этом углы, отличающиеся на n·180° (n — целое число), считаются равными. Ориентированный угол между прямыми ${\displaystyle CD}$ и ${\displaystyle AB}$ не равен ориентированному углу между прямыми ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ (они составляют в сумме 180° или, что по соглашению то же самое, 0°). Ориентированные углы обладают следующими свойствами: а) ${\displaystyle \angle (AB,BC)=-\angle (BC,AB);}$ б) ${\displaystyle \angle (AB,CD)+\angle (CD,EF)=\angle (AB,EF);}$ в) точки ${\displaystyle A,B,C,D,}$ не лежащие на одной прямой, принадлежат одной окружности тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \angle (AB,BC)=\angle (AD,DC).}$

Ряд практических задач приводит к целесообразности рассматривать угол как фигуру, получающуюся при вращении фиксированного луча вокруг точки О (из которой исходит луч) до заданного положения. В этом случае угол является мерой поворота луча. Такое определение позволяет обобщить понятие угла, расширив его область определения на всю числовую прямую ${\displaystyle (-\infty$ ;+\infty )} : вводятся углы, большие 360°, в зависимости от направления вращения различают положительные и отрицательные углы. В тригонометрии такое рассмотрение позволяет изучать тригонометрические функции для любых значений аргумента.

Понятие угла обобщается на рассматриваемый в стереометрии телесный угол.

Угол между кривыми

Угол между двумя кривыми в точке Р определяется как угол между касательными А и В в P.

Как в планиметрии, так и в стереометрии, а также в ряде других геометрий можно определить угол между гладкими кривыми в точке пересечения: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым в точке пересечения.

Понятие угла можно определить для линейных пространств произвольной природы (и произвольной, в том числе бесконечной размерности), на которых аксиоматически введено положительно определённое скалярное произведение ${\displaystyle (x,y)}$ между двумя элементами пространства ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y.}$ Скалярное произведение позволяет определить также и так называемую норму (длину) элемента как квадратный корень произведения элемента на себя ${\displaystyle ||x||={\sqrt {(x,x)}}.}$ Из аксиом скалярного произведения следует неравенство Коши — Буняковского (Коши — Шварца) для скалярного произведения: ${\displaystyle |(x,y)|\leqslant ||x||\cdot ||y||,}$ откуда следует, что величина ${\displaystyle {\frac {(x,y)}{||x||\cdot ||y||}}}$ принимает значения от −1 до 1, причём крайние значения достигаются тогда и только тогда, когда элементы пропорциональны (коллинеарны) друг другу (говоря геометрически — их направления совпадают или противоположны). Это позволяет интерпретировать отношение ${\displaystyle {\frac {(x,y)}{||x||\cdot ||y||}}}$ как косинус угла между элементами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y.}$ В частности, элементы называют ортогональными, если скалярное произведение (или косинус угла) равно нулю.

В частности, можно ввести понятие угла между непрерывными на некотором интервале ${\displaystyle [a,b]}$ функциями, если ввести стандартное скалярное произведение ${\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx,}$ тогда нормы функций определяются как ${\displaystyle ||f||^{2}=\int _{a}^{b}f^{2}(x)dx.}$ Тогда косинус угла определяется стандартным образом как отношение скалярного произведения функций к их нормам. Функции также можно назвать ортогональными, если их скалярное произведение (интеграл их произведения) равно нулю.

В римановой геометрии можно аналогично определить угол между касательными векторами с помощью метрического тензора ${\displaystyle g_{ij}.}$ Скалярное произведение касательных векторов ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ в тензорной записи будет иметь вид: ${\displaystyle (u,v)=g_{ij}u^{i}v^{j},}$ соответственно нормы векторов — ${\displaystyle ||u||={\sqrt {|g_{ij}u^{i}u^{j}|}}}$ и ${\displaystyle ||v||={\sqrt {|g_{ij}v^{i}v^{j}|}}.}$ Поэтому косинус угла будет определяться по стандартной формуле отношения указанного скалярного произведения к нормам векторов: ${\displaystyle \cos \theta ={\frac {(u,v)}{||u||\cdot ||v||}}={\frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {|g_{ij}u^{i}u^{j}|\cdot |g_{ij}v^{i}v^{j}|}}}.}$

Также существует ряд работ, в которых вводится понятие угла между элементами метрического пространства.

Пусть ${\displaystyle (X,\rho )}$ — метрическое пространство. Пусть далее, ${\displaystyle x,y,z}$ — элементы этого пространства.

К. Менгер ввёл понятие угла между вершинами ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ с вершиной в точке ${\displaystyle x}$ как неотрицательное число ${\displaystyle {\widehat {yxz}}}$, которое удовлетворяет трём аксиомам:

• ${\displaystyle {\widehat {yxz}}={\widehat {zxy}}}$
• ${\displaystyle {\widehat {yxz}}=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \rho (y,z)=|\rho (x,y)-\rho (x,z)|}$
• ${\displaystyle {\widehat {yxz}}=\pi }$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \rho (y,z)=\rho (x,y)+\rho (x,z)}$

В 1932 году Вильсон рассмотрел в качестве угла следующее выражение:

${\displaystyle {\widehat {yxz}}_{w}=\arccos {\frac {\rho ^{2}(x,y)+\rho ^{2}(x,z)-\rho ^{2}(y,z)}{2\rho (x,y)\rho (x,z)}}}$

Нетрудно видеть, что введённое выражение всегда имеет смысл и удовлетворяет трём аксиомам Менгера.

Кроме того, угол Вильсона обладает тем свойством, что в евклидовом пространстве он эквивалентен углу между элементами ${\displaystyle y-x}$ и ${\displaystyle z-x}$ в смысле евклидова пространства.

Одним из самых распространённых инструментов для построения и измерения углов является транспортир (а также линейка — см. ниже); как правило, он используется для построения угла определённой величины. Для более или менее точного измерения углов разработано много инструментов:

• угломер;
• гониометр — прибор для лабораторного измерения углов;
• кипрегель — геодезический угломерный инструмент.

Угловым расстоянием (или просто углом) между двумя объектами для наблюдателя называется мера угла, в вершине которого находится наблюдатель, а объекты лежат на сторонах. Для грубой оценки углов между двумя удалёнными предметами можно использовать кисть руки. На расстоянии вытянутой руки угловому расстоянию в 1 градус (1°) соответствует ширина мизинца (см. также ниже; угловая ширина среднего пальца на расстоянии вытянутой руки составляет около 2°), углу в 10 градусов — ширина сжатого кулака, расположенного горизонтально (либо поперечник ладони), углу в 20 градусов (или около 15°÷17°÷20°) — расстояние между кончиками разведённых большого и указательного пальца (пядь), а угловое расстояние от конца мизинца до конца большого пальца равно примерно четверти прямого угла. Это усреднённые данные. Рекомендуется уточнить их для своей собственной руки.

Различные методы и устройства для измерения углов характеризуются угловым разрешением, то есть минимальным углом, который может быть измерен с помощью данного метода. Наилучшим угловым разрешением обладают различные интерферометрические методы, позволяющие измерить в некоторых случаях углы в несколько микросекунд дуги (~10⁻¹¹ радиана).

• Барабанов О. О. Начала истории прямого угла // История науки и техники. — 2015. — № 1. — С. 16—27.'
• Погорелов А. В. Геометрия: учебник для 7—11 классов средней школы. — М.: Просвещение, 1992. — 383 с. — ISBN 9785090038546.
• Сидоров Л. А. Угол // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5: Слу — Я. — Стб. 467‒468 — 1248 стб. : ил. — 150 000 экз.
• Двугранный угол // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2: Д — Коо. — Стб. 50 — 1104 стб. : ил. — 150 000 экз.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 30‒31. — ISBN 5-94057-170-0.
• Угломерные приборы/Угол (плоский) // Большая Советская энциклопедия (в 30 т.) / Гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М.: «Советская Энциклопедия», 1977. — Т. XXVI. — С. 459‒460. — 624 с.
• Weisstein, Eric W. Line Bisector (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Angle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Polygon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• K. Menger. New Fondations of Euclidean Geometry (англ.) // THE AMERICAN JOURNAL OF MATHEMATICS 53 : журнал. — 1931. — P. 721‒745.
• W. A. Wilson. On angles in certain metric spaces (англ.) // Bulletin of American Mathematical Society 39. — 1932. — P. 580‒588.