Полярная система координат

Пару полярных координат ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \varphi }$ можно перевести в Декартовы координаты ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса (при этом предполагается, что нулевой луч полярной системы координат совпадает с осью ${\displaystyle x}$ декартовой системы):

${\displaystyle x=r\cos \varphi ,}$

${\displaystyle y=r\sin \varphi ,}$

в то время как две декартовы координаты ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ могут быть переведены в полярную координату ${\displaystyle r}$:

${\displaystyle r^{2}=y^{2}+x^{2}}$ (по теореме Пифагора).

Для определения угловой координаты ${\displaystyle \varphi }$ следует принять во внимание два следующих соображения:

• Для ${\displaystyle {r\equiv 0}}$, ${\displaystyle \varphi }$ может быть произвольным действительным числом.
• Для ${\displaystyle r\neq 0}$, чтобы получить уникальное значение ${\displaystyle \varphi }$, следует ограничиться интервалом в ${\displaystyle 2\pi }$. Обычно выбирают интервал ${\displaystyle [0,\;2\pi )}$ или ${\displaystyle (-\pi ,\;\pi ]}$.

Для вычисления ${\displaystyle \varphi }$ в интервале ${\displaystyle [0,\;2\pi )}$, можно воспользоваться такими уравнениями (${\displaystyle \mathrm {arctg} }$ обозначает обратную функцию к тангенсу):

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}}),&x>0,y\geq 0\\\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}})+2\pi ,&x>0,y<0\\\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}})+\pi ,&x<0\\{\frac {\pi }{2}},&x=0,y>0\\{\frac {3\pi }{2}},&x=0,y<0\\-&x=0,y=0\end{cases}}}$.

Для вычисления ${\displaystyle \varphi }$ в интервале ${\displaystyle (-\pi ,\;\pi ]}$, можно воспользоваться такими уравнениями:[13]

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}}),&x>0\\\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}})+\pi ,&x<0,y\geq 0\\\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}})-\pi ,&x<0,y<0\\{\frac {\pi }{2}},&x=0,y>0\\-{\frac {\pi }{2}},&x=0,y<0\\-&x=0,y=0\end{cases}}}$.

Учитывая, что для вычисления полярного угла недостаточно знать отношение ${\displaystyle y}$ к ${\displaystyle x}$, а ещё нужны знаки одного из этих чисел, многие из современных языков программирования имеют среди своих функций помимо функции atan, определяющей арктангенс числа, ещё и дополнительную функцию atan2, которая имеет отдельные аргументы для числителя и знаменателя. В языках программирования, поддерживающих необязательные аргументы (например, в Common Lisp), функция atan может получать значение координаты ${\displaystyle x}$. Однако можно заметить, что независимо от знаков декартовых координат, частные производные угла по ним вычисляются довольно просто, благодаря чему получаем удобные матрицы Якоби:

${\displaystyle J=\det {\frac {\partial (x,\;y)}{\partial (r,\;\varphi )}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}cos(\varphi )&-rsin(\varphi )\\sin(\varphi )&rcos(\varphi )\end{vmatrix}}.}$

${\displaystyle J^{-1}=\det {\frac {\partial (r,\;\varphi )}{\partial (x,\;y)}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial r}{\partial x}}&{\dfrac {\partial r}{\partial y}}\\{\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}&{\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}cos(\varphi )&sin(\varphi )\\-{\dfrac {1}{r}}sin(\varphi )&{\dfrac {1}{r}}cos(\varphi )\end{vmatrix}}.}$

Окружность, заданная уравнением ${\displaystyle \scriptstyle {r(\varphi )=1}}$

Общее уравнение окружности с центром в (${\displaystyle r_{0},\;\theta }$) и радиусом ${\displaystyle a}$ имеет вид:

${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\theta )+r_{0}^{2}=a^{2}.}$

Это уравнение может быть упрощено для частных случаев, например

${\displaystyle r(\varphi )=a}$

является уравнением, определяющим окружность с центром в полюсе и радиусом ${\displaystyle a}$[14].

Радиальные прямые (те, которые проходят через полюс) определяются уравнением

${\displaystyle \varphi =\theta }$,

где ${\displaystyle \theta }$ — угол, на который прямая отклоняется от полярной оси, то есть, ${\displaystyle \theta =\mathrm {arctg} \,m}$, где ${\displaystyle m}$ — наклон прямой в прямоугольной системе координат. Нерадиальная прямая, перпендикулярно пересекает радиальную прямую ${\displaystyle \varphi =\theta }$ в точке ${\displaystyle (r_{0},\;\theta )}$ определяется уравнением

${\displaystyle r(\varphi )=r_{0}\sec(\varphi -\theta ).}$

Полярная роза задана уравнением ${\displaystyle \scriptstyle {r(\varphi )=2\sin 4\varphi }}$

Полярная роза — известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах:

${\displaystyle r(\varphi )=a\cos(k\varphi +\theta _{0})}$

для произвольной постоянной ${\displaystyle \theta _{0}}$ (включая 0). Если ${\displaystyle k}$ — целое число, то это уравнение будет определять розу с ${\displaystyle k}$ лепестками для нечётных ${\displaystyle k}$, либо с ${\displaystyle 2k}$ лепестками для чётных ${\displaystyle k}$. Если ${\displaystyle k}$ — рациональное, но не целое, график, заданный уравнением, образует фигуру, подобную розе, но лепестки будут перекрываться. Если ${\displaystyle k}$ — иррациональное, то роза состоит из бесконечного множества частично накладывающихся друг на друга лепестков. Розы с 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками этим уравнением определить невозможно. Переменная ${\displaystyle a}$ определяет длину лепестков.

Если считать, что радиус не может быть отрицательным, то при любом натуральном ${\displaystyle k}$ мы будем иметь ${\displaystyle k}$-лепестковую розу. Таким образом, уравнение ${\displaystyle r(\varphi )=\cos(2\varphi )}$ будет определять розу с двумя лепестками. С геометрической точки зрения радиус — это расстояние от полюса до точки и он не может быть отрицательным.

Одна из ветвей спирали Архимеда, задаваемая уравнением ${\displaystyle \scriptstyle {r(\varphi )=\varphi }}$ для ${\displaystyle \scriptstyle {0<\theta <6\pi }}$

Архимедова спираль названа в честь её изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Эту спираль можно определить с помощью простого полярного уравнения:

${\displaystyle r(\varphi )=a+b\varphi .}$

Изменения параметра ${\displaystyle a}$ приводят к повороту спирали, а параметра ${\displaystyle b}$ — расстояния между витками, которое является константой для конкретной спирали. Спираль Архимеда имеет две ветви, одну для ${\displaystyle \varphi >0}$ а другую для ${\displaystyle \varphi <0}$. Две ветви плавно соединяются в полюсе. Зеркальное отображение одной ветви относительно прямой, проходящей через угол 90°/270°, даст другую ветвь. Эта кривая интересна тем, что была описана в математической литературе одной из первых, после конического сечения, и лучше других определяется именно полярным уравнением.

Эллипс

Коническое сечение, один из фокусов которого находится в полюсе, а другой где-то на полярной оси (так, что большая полуось лежит вдоль полярной оси) задаётся уравнением:

${\displaystyle r={\frac {\ell }{1-e\cos \varphi }}}$,

где ${\displaystyle e}$ — эксцентриситет, а ${\displaystyle \ell }$ — фокальный параметр. Если ${\displaystyle e>1}$, это уравнение определяет гиперболу; если ${\displaystyle e=1}$, то параболу; если ${\displaystyle e<1}$, то эллипс. Отдельным случаем является ${\displaystyle e=0}$, определяющее окружность с радиусом ${\displaystyle \ell }$.

Справедливы следующие формулы:

${\displaystyle r{\frac {\partial }{\partial r}}=x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}},}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \varphi }}=-y{\frac {\partial }{\partial x}}+x{\frac {\partial }{\partial y}}.}$

Чтобы найти тангенс угла наклона касательной к любой данной точке полярной кривой ${\displaystyle r(\varphi )}$ в декартовых координатах, выразим их через систему уравнений в параметрическом виде:

${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi ,}$

${\displaystyle y=r(\varphi )\sin \varphi .}$

Дифференцируя оба уравнения по ${\displaystyle \varphi }$ получим:

${\displaystyle {\frac {dx}{d\varphi }}=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi ,}$

${\displaystyle {\frac {dy}{d\varphi }}=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi .}$

Разделив эти уравнения (второе на первое), получим искомый тангенс угла наклона касательной в декартовой системе координат в точке ${\displaystyle (r,\;r(\varphi ))}$:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.}$

Область ${\displaystyle \scriptstyle {R}}$, которая образована полярной кривой ${\displaystyle \scriptstyle {r(\varphi )}}$ и лучами ${\displaystyle \scriptstyle {\varphi =a}}$ и ${\displaystyle \scriptstyle {\varphi =b}}$

Пусть ${\displaystyle R}$ — область, которую образуют полярная кривая ${\displaystyle r(\varphi )}$ и лучи ${\displaystyle \varphi =a}$ и ${\displaystyle \varphi =b}$, где ${\displaystyle 0<b-a<2\pi }$. Тогда площадь этой области находится определённым интегралом:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[r(\varphi )]^{2}\,d\varphi .}$

Область ${\displaystyle \scriptstyle {R}}$ образована из ${\displaystyle n}$ секторов (тут ${\displaystyle \scriptstyle {n=5}}$)

Такой результат можно получить следующим образом. Сначала разобьём интервал ${\displaystyle [a,\;b]}$ на произвольное число подынтервалов ${\displaystyle n}$. Таким образом, длина такого подынтервала ${\displaystyle \Delta \varphi }$ равна ${\displaystyle b-a}$ (полная длина интервала), разделённая на ${\displaystyle n}$ (число подынтервалов). Пусть для каждого подынтервала ${\displaystyle i=1,\;2,\;\ldots ,\;n}$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$ — средняя точка. Построим секторы с центром в полюсе, радиусами ${\displaystyle r(\varphi _{i})}$, центральными углами ${\displaystyle \Delta \varphi }$ и длиной дуги ${\displaystyle r(\varphi _{i})\Delta \varphi }$. Поэтому площадь каждого такого сектора будет ${\displaystyle {\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\Delta \varphi }$. Отсюда, полная площадь всех секторов:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi .}$

Если число подынтервалов ${\displaystyle n}$ увеличивать, то погрешность такого приближенного выражения будет уменьшаться. Положив ${\displaystyle n\to \infty }$, полученная сумма станет интегральной. Предел этой суммы при ${\displaystyle \Delta \varphi \to 0}$ определяет вышеописанный интеграл:

${\displaystyle \lim _{\Delta \varphi \to 0}\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi ={\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[r(\varphi )]^{2}\,d\varphi .}$

Используя декартовы координаты, площадь бесконечно малого элемента может быть вычислена как ${\displaystyle dA=dx\,dy}$. При переходе к другой системе координат в многократных интегралах необходимо использовать определитель Якоби:

${\displaystyle J=\det {\frac {\partial (x,\;y)}{\partial (r,\;\varphi )}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}.}$

Для полярной системы координат, определитель матрицы Якоби равен ${\displaystyle r}$:

${\displaystyle J={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\varphi =r.}$

Следовательно, площадь элемента в полярных координатах можно записать так:

${\displaystyle dA=J\,dr\,d\varphi =r\,dr\,d\varphi .}$

Теперь, функция, записанная в полярных координатах, может быть интегрирована следующим образом:

${\displaystyle \iint \limits _{R}f(r,\;\varphi )\,dA=\int \limits _{a}^{b}\int \limits _{0}^{r(\varphi )}f(r,\;\varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}$

Здесь область ${\displaystyle R}$, как и в предыдущем разделе, такая, которую образуют полярная кривая ${\displaystyle r(\varphi )}$ и лучи ${\displaystyle \varphi =a}$ и ${\displaystyle \varphi =b}$.

Формула для вычисления площади, описанная в предыдущем разделе, получена в случае ${\displaystyle f=1}$. Интересным результатом применения формулы для многократных интегралов является Интеграл Эйлера — Пуассона:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}$

Для полярных координат можно применить элементы векторного анализа. Любое векторное поле ${\displaystyle \mathbf {F} }$ на двумерном пространстве (плоскости) можно записать в полярной системе координат, используя единичные векторы:

${\displaystyle \mathbf {e} _{r}=(\cos \varphi ,\;\sin \varphi )}$

в направлении ${\displaystyle \mathbf {r} }$, и

${\displaystyle \mathbf {e} _{\varphi }=(-\sin \varphi ,\;\cos \varphi );}$

${\displaystyle \mathbf {F} =F_{r}\mathbf {e} _{r}+F_{\varphi }\mathbf {e} _{\varphi }.}$

Связь между декартовыми компонентами поля ${\displaystyle F_{x}}$ и ${\displaystyle F_{y}}$ и его компонентами в полярной системе координат задаётся уравнениями:

${\displaystyle F_{x}=F_{r}\cos \varphi -F_{\varphi }\sin \varphi$ ;}

${\displaystyle F_{y}=F_{r}\sin \varphi +F_{\varphi }\cos \varphi .}$

Соответствующим образом в полярной системе координат определяются операторы векторного анализа. Например, градиент скалярного поля ${\displaystyle \Phi (r,\;\varphi )}$ записывается:

${\displaystyle \mathrm {grad} \,\Phi ={\frac {\partial \Phi }{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }.}$

Всё это работает за исключением одной особой точки — полюса, для которой ${\displaystyle \varphi }$ не определено, и векторный базис, описанный выше, построить таким образом в данной точке нельзя. Это надо иметь в виду, хотя на практике векторные поля, исследуемые с помощью полярных координат, часто или сами имеют особенность в этой точке, или равны в ней нулю, что несколько облегчает дело. Кроме того, использование полярных координат никак не затрудняет выражение произвольного векторного поля сколь угодно близко к этой точке.

Точка ${\displaystyle \scriptstyle {P}}$ начертана в цилиндрической системе координат

Цилиндрическая система координат, грубо говоря, расширяет плоскую полярную систему добавлением третьей линейной координаты, называемой «высотой» и равной высоте точки над нулевой плоскостью подобно тому, как Декартова система расширяется на случай трёх измерений. Третья координата обычно обозначается как ${\displaystyle z}$, образуя тройку координат ${\displaystyle (\rho ,\;\varphi ,\;z)}$.

Тройку цилиндрических координат можно перевести в декартову систему следующими преобразованиями:

${\displaystyle {\begin{cases}x=\rho \cos \varphi$ ;\\y=\rho \sin \varphi ;\\z=z.\end{cases}}}

Точка начертана в сферической системе координат

Также полярные координаты можно расширить на случай трёх измерений путём добавления угловой координаты ${\displaystyle \theta }$, равным углу поворота от вертикальной оси ${\displaystyle z}$ (называется зенитом или широтой, значения находятся в интервале от 0 до 180°). То есть, сферические координаты, это тройка ${\displaystyle (r,\;\varphi ,\;\theta )}$, где ${\displaystyle r}$ — расстояние от центра координат, ${\displaystyle \varphi }$ — угол от оси ${\displaystyle x}$ (как и в плоских полярных координатах), ${\displaystyle \theta }$ — широта. Сферическая система координат подобна географической системе координат для определения места на поверхности Земли, где начало координат совпадает с центром Земли, широта ${\displaystyle \delta }$ является дополнением ${\displaystyle \theta }$ и равна ${\displaystyle \delta =90^{\circ }-\theta }$, а долгота ${\displaystyle l}$ вычисляется по формуле ${\displaystyle l=\varphi -180^{\circ }}$[18].

Тройку сферических координат можно перевести в декартову систему следующими преобразованиями:

${\displaystyle {\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi$ ;\\y=r\sin \theta \sin \varphi ;\\z=r\cos \theta .\end{cases}}}

Полярную систему координат можно расширить на случай ${\displaystyle n}$-мерного пространства. Пусть ${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle i=1,\;\ldots ,\;n}$ — координатные векторы ${\displaystyle n}$-мерной прямоугольной системе координат. Необходимые координаты в ${\displaystyle n}$-мерный полярной системе можно вводить как угол отклонения вектора ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ от координатной оси ${\displaystyle x_{i+2}}$.

Для перевода обобщённых ${\displaystyle n}$-мерных полярных координат в декартовы можно воспользоваться следующими формулами:

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}x_{1}&=&r\cos \varphi \sin \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{n-3}\sin \vartheta _{n-2};\\x_{2}&=&r\sin \varphi \sin \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{n-3}\sin \vartheta _{n-2};\\x_{3}&=&r\cos \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{n-3}\sin \vartheta _{n-2};\\x_{4}&=&r\cos \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{n-3}\sin \vartheta _{n-2};\\\ldots &\ldots &\ldots \qquad \qquad \qquad \\x_{n-1}&=&r\cos \vartheta _{n-3}\sin \vartheta _{n-2};\\x_{n}&=&r\cos \vartheta _{n-2}.\end{array}}}$

Как можно показать, случай ${\displaystyle n=2}$ соответствует обычной полярной системе координат на плоскости, а ${\displaystyle n=3}$ — обычной сферической системе координат.

Якобиан преобразования полярных координат в декартовы даётся формулой:

${\displaystyle \det {\frac {\partial (x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})}{\partial (r,\;\varphi ,\;\vartheta _{1},\;\ldots ,\;\vartheta _{n-2})}}=r^{n-1}\sin \vartheta _{1}(\sin \vartheta _{2})^{2}\ldots (\sin \vartheta _{n-2})^{n-2}}$,

где ${\displaystyle n}$-мерный элемент объёма имеет вид:

${\displaystyle dV=r^{n-1}\sin \vartheta _{1}(\sin \vartheta _{2})^{2}\ldots (\sin \vartheta _{n-2})^{n-2}\,dr\,d\varphi \,d\vartheta _{1}\ldots d\vartheta _{n-2}=}$

${\displaystyle =r^{n-1}\,dr\,d\varphi \prod \limits _{j=1}^{n-2}(\sin \vartheta _{j})^{j}\,d\vartheta _{j}.}$

Полярную систему координат часто применяют в навигации, поскольку пункт назначения можно задать как расстояние и направление движения от отправной точки. Например, в авиации, для навигации применяют несколько изменённую версию полярных координат. В этой системе, обычно используемой для навигации, луч 0° называют направлением 360, а углы отсчитываются в направлении по часовой стрелке. Направление 360 соответствует магнитному северу, а направления 90, 180, и 270 соответствуют магнитным востоку, югу и западу[19]. Так, самолёт, летящий 5 морских миль на восток можно описать как самолёт, летящий 5 единиц в направлении 90 (центр управления полётами назовёт его найн-зиро)[20].

Cечение комптоновского рассеяния от угла рассеяния (для разной энергии фотона)

Системы с радиальной симметрией очень хорошо подходят для описания в радиальных координатах, где полюс системы координат совпадает с центром симметрии. В качестве примера можно привести уравнение тока грунтовых вод в случае радиально симметричных колодцев. Системы с центральными силами также подходят для моделирования в полярных координатах. К таким системам относятся гравитационные поля, подчиняющиеся закону обратно-квадратичной зависимости, и вообще центральные силы. Также существенное удобство полярные координаты предоставляют при работе с системами, имеющими точечные (или приближенно точечные) источники энергии, такие как радиоантенны — при исследовании их излучения на сравнительно больших расстояниях от антенны, распространение звука или света — в особенности (но не обязательно) сферически- или цилиндрически-симметричное. В определенных задачах, в том числе из числа упомянутых выше, использование сферических или цилиндрических координат (являющихся для этих задач естественными) по сути сводится к использованию просто двумерных полярных координат.

Полярные координаты как для вычислений, так и для наглядного изображения их результатов, бывают достаточно полезны не только в случаях, когда симметрия задачи близка в целом к осевой или сферической, но и в случаях, когда симметрия явно далека от таковой, например, для вычисления поля диполя. В этом случае применение полярных координат имеет мотивировку в малом размере источника поля (заряды диполя расположены очень близко друг к другу), к тому же поле каждого такого заряда просто выражается в полярных координатах, особенно если поместить полюс в один из этих зарядов (поле второго будет отличаться, кроме знака, лишь на малую поправку).

В квантовой механике и химии полярные координаты (наряду со сферическими для более сложных случаев) используются для изображения угловой зависимости волновой функции электрона в атоме, в том числе в целях качественного анализа и наглядности при преподавании.

Диаграмма направленности (азимутальная) типичной направленной антенны

Фронт мощности звуковой волны промышленного громкоговорителя показан в сферических координатах при шести частотах

В разных прикладных областях, полярные координаты применяются как способами, близкими к применяемым в соответствующих областям фундаментальной физики, так и самостоятельным образом.

Трёхмерное моделирование звука динамиков может использоваться для прогнозирования их эффективности. Необходимо сделать несколько диаграмм в полярных координатах для широкого диапазона частот, поскольку фронт существенно меняется в зависимости от частоты звука. Полярные диаграммы помогают увидеть, что многие громкоговорители с понижением частоты звука теряют направленность. В случае излучателя, имеющего строгую осевую симметрию или слабо от нее отклоняющегося, достаточно использовать не сферические, а обычные (двумерные) полярные координаты, так как во всех плоскостях, проходящих через ось симметрии, зависимость будет одинаковой или почти одинаковой. Если такой симметрии нет, то какое-то представление о звуковом потоке в разных направлениях может дать пара (для каждой частоты) полярных диаграмм в перпендикулярных плоскостях, для эллиптического или прямоугольного излучателя — связанного с его главными осями.

В полярных координатах также принято представлять характеристику направленности микрофонов, определяемую отношением чувствительности при падении звуковой волны под углом относительно акустической оси микрофона к его осевой чувствительности.

В принципе, полярные диаграммы могут использоваться для представления практически любых зависимостей. Но на практике обычно этот вид представления выбирается в случаях, когда речь идет от зависимости от реального геометрического направления (см. например Роза ветров, Диаграмма рассеяния, зависимость отраженного светового потока от угла в фотометрии, диаграмма направленности антенн, светодиодов и других светоизлучателей, фотодатчиков, акустических систем итп). Также довольно нередко можно встретиться с применением полярных координат в случаях, когда одна из переменных имеет циклический характер (в полярных координатах ее довольно естественно представлять углом).

Могут применяться и областях, не связанных прямо с физикой (хотя иногда можно проследить более или менее прямую аналогию в этом плане), например, можно использовать полярные диаграммы, аналогичные розе ветров, например, для изучения направлений миграций животных. Такое использование достаточно удобно и наглядно.