Плюккеровы координаты

Пусть ${\displaystyle M}$ — ${\displaystyle m}$-мерное подпространство ${\displaystyle n}$-мерного векторного пространства ${\displaystyle L}$. Для определения плюккеровых координат подпространства ${\displaystyle M}$ выберем произвольный базис ${\displaystyle e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}}$ в ${\displaystyle L}$ и произвольный базис ${\displaystyle a_{1},\;\ldots ,\;a_{m}}$ в ${\displaystyle M}$. Каждый вектор ${\displaystyle a_{i}}$ имеет в базисе ${\displaystyle e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}}$ координаты ${\displaystyle (a_{i1},\;\ldots ,\;a_{in})}$, то есть ${\displaystyle a_{i}=a_{i1}e_{1}+\ldots +a_{in}e_{n}}$. Записывая координаты векторов ${\displaystyle a_{1},\;\ldots ,\;a_{m}}$ в виде строк, получим матрицу

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},}$

ранг которой равен ${\displaystyle m}$. Обозначим через ${\displaystyle M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}}$ минор матрицы ${\displaystyle A}$, состоящий из столбцов с номерами ${\displaystyle i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$, принимающими значения от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle n}$. Числа ${\displaystyle M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}}$ не независимы: если набор индексов ${\displaystyle (i_{1},\;\ldots ,\;i_{m})}$ получен из ${\displaystyle (j_{1},\;\ldots ,\;j_{m})}$ с помощью перестановки ${\displaystyle \sigma \in S_{m}}$, то имеет место равенство ${\displaystyle M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=\pm M_{j_{1},\;\ldots ,\;j_{m}}}$, где знак «плюс» или «минус» соответствует тому, является ли перестановка ${\displaystyle \sigma }$ чётной или нечётной. Рассматриваемая с точностью до умножения на общий ненулевой множитель совокупность ${\displaystyle C_{n}^{m}}$ чисел ${\displaystyle p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}}$ для всех упорядоченных наборов индексов ${\displaystyle i_{1}<\ldots <i_{m}}$, принимающих значения от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle n}$, называется плюккеровыми координатами подпространства ${\displaystyle M}$.

1. Независимость от выбора базиса.

Если в подпространстве ${\displaystyle M}$ выбран другой базис ${\displaystyle a'_{1},\;\ldots ,\;a'_{m}}$, то новый набор плюккеровых координат ${\displaystyle p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}}$ будет иметь вид ${\displaystyle p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=c\cdot p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}}$, где ${\displaystyle c}$ — некоторый ненулевой множитель. Действительно, новый базис связан со старым соотношениями ${\displaystyle a'_{i}=a'_{i1}a_{1}+\cdots +a'_{im}a_{m}}$, и определитель матрицы ${\displaystyle (a'_{ij})}$ отличен от нуля. Согласно определению плюккеровых координат и теореме об определителе произведения матриц, имеем ${\displaystyle p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=c\cdot p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}}$, где ${\displaystyle c=\det(a'_{ij})}$.

2. Грассманиан.

Ставя в соответствие каждому ${\displaystyle m}$-мерному подпространству ${\displaystyle M}$ набор его плюккеровых координат ${\displaystyle p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}}$, мы сопоставляем ${\displaystyle M}$ некоторую точку проективного пространства ${\displaystyle P}$ размерности ${\displaystyle C_{n}^{m}-1}$. Построенное таким образом отображение ${\displaystyle g}$ инъективно, но не сюръективно (то есть его образ не совпадает со всем пространством ${\displaystyle P}$). Образ множества всех ${\displaystyle m}$-мерных подпространств ${\displaystyle n}$-мерного пространства при отображении ${\displaystyle g}$ является ${\displaystyle m(n-m)}$-мерным проективным алгебраическим многообразием в ${\displaystyle P}$, называемым многообразием Грассмана или грассманианом и обозначаемым ${\displaystyle G(m,\;n)}$ или ${\displaystyle \mathrm {Gr} _{m}(L)}$.

3. Соотношения Плюккера.

Критерием, с помощью которого можно определить, принадлежит ли данная точка проективного пространства ${\displaystyle P}$ грассманиану ${\displaystyle G(m,\;n)}$, являются так называемые соотношения Плюккера:

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m+1}(-1)^{r}p_{j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1}k_{r}}\cdot p_{k_{1},\;\ldots ,\;{\breve {k_{r}}},\;\ldots ,\;k_{m+1}}=0,\quad \forall \,(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1}),\quad \forall \,(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1}),}$

где все индексы в наборах ${\displaystyle (j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1})}$ и ${\displaystyle (k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1})}$ принимают значения от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle n}$, знак ${\displaystyle {\breve {}}}$ обозначает пропуск стоящего под ним индекса. Данная сумма получается, если из совокупности ${\displaystyle (k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1})}$ выбрасывается поочередно по одному индексу и этот индекс приписывается справа к набору ${\displaystyle (j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1})}$, потом два получившихся числа ${\displaystyle p_{\alpha _{1},\;\ldots ,\;\alpha _{m}}=M_{\alpha _{1},\;\ldots ,\;\alpha _{m}}}$ перемножаются (заметим, что эти числа являются минорами матрицы ${\displaystyle A}$, но не обязательно являются плюккеровыми координатами, так как наборы их индексов не обязательно упорядочены по возрастанию) и затем берётся сумма всех таких произведений с чередующимися знаками. Соотношения Плюккера выполнены для каждого ${\displaystyle m}$-мерного подпространства ${\displaystyle M\subset L}$. И обратно, если однородные координаты ${\displaystyle p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}}$, ${\displaystyle i_{1}<\ldots <i_{m}}$, некоторой точки проективного пространства ${\displaystyle P}$ удовлетворяют этим соотношениям, то эта точка при отображении ${\displaystyle g}$ соответствует некоторому подпространству ${\displaystyle M\subset L}$, то есть принадлежит ${\displaystyle G(m,\;n)}$.

На языке матриц это означает: если числа ${\displaystyle p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}}$ удовлетворяют соотношениям Плюккера, то существует матрица, для которой они являются минорами максимального порядка, а если нет, то не существует такой матрицы. Что решает задачу о возможности восстановления матрицы по её минорам максимального порядка, с точностью до линейного преобразования строк.

В случае ${\displaystyle n=4}$ и ${\displaystyle m=2}$ имеем ${\displaystyle C_{4}^{2}=6}$, и следовательно, каждая плоскость ${\displaystyle M}$ в 4-мерном векторном пространстве имеет ${\displaystyle 6}$ плюккеровых координат: ${\displaystyle p_{12}}$, ${\displaystyle p_{13}}$, ${\displaystyle p_{14}}$, ${\displaystyle p_{23}}$, ${\displaystyle p_{24}}$, ${\displaystyle p_{34}}$. Выбирая в плоскости ${\displaystyle M}$ базис ${\displaystyle a_{1},\;a_{2}}$ таким образом, что ${\displaystyle a_{1}=e_{1}}$ и ${\displaystyle a_{2}=e_{2}}$, получаем матрицу

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&\alpha &\beta \\0&1&\gamma &\delta \\\end{pmatrix}},}$

откуда находим:

${\displaystyle p_{12}=1}$, ${\displaystyle p_{13}=\gamma }$, ${\displaystyle p_{14}=\delta }$, ${\displaystyle p_{23}=-\alpha }$, ${\displaystyle p_{24}=-\beta }$, ${\displaystyle p_{34}=\alpha \delta -\beta \gamma }$.

Очевидно, что имеет место соотношение

${\displaystyle p_{12}p_{34}-p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23}=0}$,

сохраняющееся при умножении всех ${\displaystyle p_{i_{1}i_{2}}}$ на любой общий множитель, то есть не зависящее от выбора базиса. Это и есть соотношение Плюккера, определяющее проективную квадрику ${\displaystyle G(2,\;4)}$ в 5-мерном проективном пространстве.

• Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические проблемы. — М.: изд-во МГУ, 1962.
• Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. — М.: Факториал, 1998.
• Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. — Т. 1. — М.: ИЛ, 1954. (Здесь плюккеровы координаты названы грассмановыми).
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.
• Casas-Alvero E. Analytic Projective Geometry. — : European Mathematical Society, 2014.