Кеплерова задача
В классической механике, задача Кеплера — это частный случай задачи двух тел, в которой два тела взаимодействуют посредством центральной силы , изменяющейся по величине обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Сила может быть как притягивающей, так и отталкивающей. Задача состоит в нахождении зависимости координат или скоростей тел от времени при заданных массах и начальных значениях скоростей и координат. С помощью классической механики решение может быть выражено через Кеплеровы орбиты, используя шесть элементов орбит.
- О задаче плотнейшей упаковке шаров см. Гипотеза Кеплера.
Задача Кеплера названа в честь Иоганна Кеплера, который предложил законы Кеплера движения планет (которые являются частью классической механики и позволяют решить задачу Кеплера для орбит планет) и исследовал типы сил, которые должны приводить к существованию орбит, удовлетворяющих законам Кеплера (так называемая обратная задача Кеплера).
Приложения
Задача Кеплера проявляет себя во многих случаях, и некоторые не относятся к физике и были изучены ещё самим Кеплером.
Задача Кеплера важна для небесной механики, теории тяготения Ньютона, подчиняющейся закону обратных квадратов. Примеры включают движение спутников вокруг планет, движение планет вокруг их солнц, движение двойных звёзд вокруг друг друга. Задача Кеплера также важна для случая движения двух заряженных частиц, между которыми действуют силы Кулона, также подчиняющихся закону обратных квадратов. В качестве примера можно привести атом водорода, позитроний и мюоний, — эти случаи играют важную роль в моделировании систем для проверки физических теорий и измерения физических констант.
Задача Кеплера и задача простого гармонического осциллятора являются двумя наиболее фундаментальными задачами классической механики. Это единственные два случая, имеющих замкнутые орбиты, то есть, объект возвращается в ту же самую начальную точку с той же самой скоростью (Задача Бертрана). Часто задача Кеплера используется для развития новых методов классической механики, таких как Лагранжева механика, Гамильтонова механика, Уравнение Гамильтона — Якоби, переменные действие — угол. Задача Кеплера сохраняет вектор Лапласа — Рунге — Ленца, который был обобщён для других взаимодействий. Решение Кеплеровой задачи позволяет учёным показать, что движение планет может быть исчерпывающим образом описано законами классической механики и классической теорией тяготения Ньютона; научное объяснение движения планет сыграло важную роль в распространении просвещения.
Математическое определение
Центральная сила , действующая на два тела, которая изменяется по величине по закону обратных квадратов в зависимости от расстояния между телами:
- ,
где — постоянная и представляет собой единичный вектор, направленный вдоль прямой, соединяющей два тела. Сила может быть как притягивающей (), так и отталкивающей ().
Соответствующий скалярный потенциал:
- .
