Центральная сила

• Если материальная точка совершает движение под действием центральной силы с центром O, то момент количества движения точки сохраняется, а она сама совершает движение в плоскости, перпендикулярной вектору момента количества движения относительно точки O и проходящей через эту точку O.

• Если система материальных точек совершает движение под действием центральных сил c общим центром O, то момент количества движения системы сохраняется.

• Если действующая на точку P центральная сила зависит лишь от её расстояния ${\displaystyle |\mathbf {r} |}$ до центра O, то такая центральная сила потенциальна: существует функция U, называемая потенциалом, такая, что

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-\mathbf {\nabla } U(|\mathbf {r} |)}$

• Формула Бине позволяет определить центральную силу, если известно уравнение траектории материальной точки, движущейся под её действием, или по заданной центральной силе определить траекторию.

• Центральная сила ньютоновского притяжения (величина силы F(r) пропорциональна 1/r²)
• Сила Кулона (величина силы F(r) пропорциональна 1/r²)
• Сила Гука (величина силы F(r) пропорциональна r)

Как видно на Рис.1 единственная действующая между телами ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle K}$ сила ${\displaystyle {\vec {F}}}$ может быть разложена на две составляющие: ${\displaystyle {\vec {F}}={\vec {F}}_{t}+{\vec {F}}_{n}}$ (2)

При этом ${\displaystyle {\vec {F}}_{t}}$ есть тангенциальная сила, в зависимости от направления движения тела по своей траектории на рисунке либо тормозящая его движение, либо ускоряющая его.

${\displaystyle {\vec {F}}_{n}}$ есть сила, направленная по нормали к касательной к траектории в сторону мгновенного центра и потому являющаяся центростремительной силой.[1]

Непосредственно из определения понятий о моментах силы и момента количества движения (момента импульса) следует экспериментально подтверждаемый факт, что скорость изменения момента импульса вращающегося тела ${\displaystyle {\vec {L}}}$ прямо пропорциональна величине приложенного к телу момента силы ${\displaystyle {\vec {M}}}$:

${\displaystyle {\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\vec {M}}(3)}$

Однако в поле центральной силы её момент всегда равен нулю (Формула (1)). Из этого непосредственно следует, что при любом движении тела в поле центральной силы момент количества движения движущегося под её действием тела остаётся постоянным:

${\displaystyle {\vec {L}}=const(4)}$. Но, поскольку постоянство вектора есть одновременно и сохранение его направления в пространстве, то заметаемая при движении тела площадка всегда лежит в одной и той же плоскости. Из этого следует, что любая траектория движения тела под действием центральной силы есть плоская кривая.

Наиболее часто движение тел в гравитационном поле изучают в области небесной механики, где преобладают гравитационные воздействия, и потому изучаемая система взаимодействующих сил может рассматриваться как консервативная система, то есть такая, в которой сохраняется полная энергия тела в виде суммы потенциальной и кинетической энергии.[2]

${\displaystyle E=W_{k}+W_{p}}$ (25), где:

${\displaystyle W_{k}={\frac {m}{2}}(v_{n}^{2}+v_{t}^{2})(26)}$ причём ${\displaystyle v_{n}}$ и ${\displaystyle v_{t}}$ соответствуют скоростям, создаваемым нормальной и тангенциальной составляющей действующей на тело силы на Рис.1

Рис.2 К вопросу о зависимости параметров орбиты от полной энергии планеты

Воспользовавшись определением кинетического момента:${\displaystyle L=mrv_{t}}$ получаем для кинетической энергии тангенциального движения соотношение:

${\displaystyle W_{k}(t)={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}(27)}$ .

А для движения по нормали к траектории: ${\displaystyle W_{k}(n)={\frac {mv_{n}^{2}}{2}}(28)}$

${\displaystyle W_{p}={\frac {GmM}{r}}(29)}$

Тогда выражение для полной энергии тела будет иметь вид:

${\displaystyle E={\frac {mv_{n}^{2}}{2}}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GmM}{r}}(30)}$

Введя в рассмотрение эффективный потенциал ${\displaystyle U^{*}}$ :

${\displaystyle U^{*}={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GmM}{r}}(31)}$

Получаем возможность связать диапазон изменения длины радиус-вектора траектории тела с запасённой им энергией, что представлено на рис.2[1][3].

Так при минимальной энергии движущегося тела ${\displaystyle E_{3}}$ тело движется по круговой орбите с радиусом ${\displaystyle r_{0}}$

Если энергия движения тела больше, скажем ${\displaystyle E_{2}}$, траектория тела будет представлять эллипс с малой полуосью ${\displaystyle r_{a}}$ и большой ${\displaystyle r_{b}}$.

Наконец, при энергии ${\displaystyle E_{1}}$ тела разойдутся, сблизившись на минимальное расстояние ${\displaystyle r_{s}}$

• Формула Бине (механика)

• Поль Аппель, Теоретическая механика. Том 1. Статика. Динамика точки. М.: Физматлит, 1960 .