Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Рис. 2: Конец вектора импульса ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {p} }$ (показанный синим цветом) двигается по кругу, когда частица совершает движение по эллипсу. Четыре помеченные точки соответствуют точкам на рис. 1. Центр круга находится на оси ${\displaystyle \scriptstyle y}$ в точке ${\displaystyle \scriptstyle A/L}$ (показан пурпурным), с радиусом ${\displaystyle \scriptstyle mk/L}$ (показан зелёным). Угол ${\displaystyle \scriptstyle \eta }$ определяет эксцентриситет ${\displaystyle \scriptstyle e}$ эллиптической орбиты (${\displaystyle \scriptstyle \cos \eta =e}$). Из теоремы о вписанном угле для круга следует, что ${\displaystyle \scriptstyle \eta }$ является также углом между любой точкой на окружности и двумя точками пересечения окружности с осью ${\displaystyle \scriptstyle p_{x}}$, ${\displaystyle \scriptstyle p_{x}=\pm p_{0}}$.

Сохранение вектора Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и вектора углового момента ${\displaystyle \mathbf {L} }$ используется в доказательстве того, что вектор импульса ${\displaystyle \mathbf {p} }$ движется по кругу под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Вычисляя векторное произведение ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и ${\displaystyle \mathbf {L} }$, приходим к уравнению для ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle L^{2}\mathbf {p} =\mathbf {L} \times \mathbf {A} -mk{\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {L} .}$

Направляя вектор ${\displaystyle \mathbf {L} }$ вдоль оси ${\displaystyle z}$, а главную полуось — по оси ${\displaystyle x}$, приходим к уравнению

${\displaystyle p_{x}^{2}+(p_{y}-A/L)^{2}=(mk/L)^{2}.}$

Другими словами, вектор импульса ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ограничен окружностью радиуса ${\displaystyle mk/L}$, центр которой расположен в точке с координатами ${\displaystyle (0,\;A/L)}$. Эксцентриситет ${\displaystyle e}$ соответствует косинусу угла ${\displaystyle \eta }$, показанного на рис. 2. Для краткости можно ввести переменную ${\displaystyle p_{0}={\sqrt {2m|E|}}}$. Круговой годограф полезен для описания симметрии проблемы Кеплера.

Семь скалярных величин: энергия ${\displaystyle E}$ и компоненты векторов Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и момента импульса ${\displaystyle \mathbf {L} }$ — связаны двумя соотношениями. Для векторов выполняется условие ортогональности ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {L} =0}$, а энергия входит в выражение для квадрата длины вектора Лапласа — Рунге — Ленца, полученного выше ${\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}}$. Тогда существует пять независимых сохраняющихся величин, или интегралов движения. Это совместимо с шестью начальными условиями (начальное положение частицы и её скорость являются векторами с тремя компонентами), которые определяют орбиту частицы, так как начальное время не определено интегралами движения. Поскольку величину ${\displaystyle \mathbf {A} }$ (и эксцентриситет ${\displaystyle e}$ орбиты) можно определить из полного углового момента ${\displaystyle L}$ и энергии ${\displaystyle E}$, то утверждается, что только направление ${\displaystyle \mathbf {A} }$ сохраняется независимо. Кроме того, вектор ${\displaystyle \mathbf {A} }$ должен быть перпендикулярным ${\displaystyle \mathbf {L} }$ — это приводит к одной дополнительной сохраняющейся величине.

Механическая система с ${\displaystyle d}$ степенями свободы может обладать максимум ${\displaystyle 2d-1}$ интегралами движения, поскольку имеется ${\displaystyle 2d}$ начальных условий, а начальное время не может быть определено из интегралов движения. Система с более чем ${\displaystyle d}$ интегралами движения называется суперинтегрируемой, а система с ${\displaystyle 2d-1}$ интегралами называется максимально суперинтегрируемой[19]. Поскольку решение уравнения Гамильтона — Якоби в одной системе координат может привести только к ${\displaystyle d}$ интегралам движения, то переменные должны разделяться для суперинтегрируемых систем в больше чем одной системе координат[20]. Проблема Кеплера — максимально суперинтегрируема, так как она имеет три степени свободы (${\displaystyle d=3}$) и пять независимых интегралов движения; переменные в уравнении Гамильтона — Якоби разделяются в сферических координатах и параболических координатах[21], как описано ниже. Максимально суперинтегрируемые системы могут быть квантованы с использованием только коммутационных соотношений, как показано ниже[22].

Постоянство вектора Лапласа — Рунге — Ленца можно вывести, используя уравнение Гамильтона — Якоби в параболических координатах ${\displaystyle (\xi ,\;\eta )}$, которые определяются следующим образом

${\displaystyle \xi =r+x,}$

${\displaystyle \eta =r-x,}$

где ${\displaystyle r}$ — радиус в плоскости орбиты

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

Обратное преобразование этих координат запишется в виде

${\displaystyle x={\frac {1}{2}}(\xi -\eta ),}$

${\displaystyle y={\sqrt {\xi \eta }}.}$

Разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби в этих координатах даёт два эквивалентных уравнения[21][23]

${\displaystyle 2\xi p_{\xi }^{2}-mk-mE\xi =-\beta ,}$

${\displaystyle 2\eta p_{\eta }^{2}-mk-mE\eta =\beta ,}$

где ${\displaystyle \beta }$ — интеграл движения. Посредством вычитания этих уравнений и выражения в терминах декартовых координат импульса ${\displaystyle p_{x}}$ и ${\displaystyle p_{y}}$ можно показать, что ${\displaystyle \beta }$ эквивалентен вектору Лапласа — Рунге — Ленца

${\displaystyle \beta =p_{y}(xp_{y}-yp_{x})-mk{\frac {x}{r}}=A_{x}.}$

Этот подход Гамильтона — Якоби может использоваться, чтобы вывести сохраняющийся обобщённый вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ в присутствии электрического поля ${\displaystyle \mathbf {E} }$[21][24]

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {A} +{\frac {mq}{2}}\left[(\mathbf {r} \times \mathbf {E} )\times \mathbf {r} \right],}$

где ${\displaystyle q}$ — заряд обращающейся частицы.

В отличие от импульса ${\displaystyle \mathbf {p} }$ и углового момента ${\displaystyle \mathbf {L} }$, у вектора Лапласа — Рунге — Ленца нет общепринятого определения. В научной литературе используются несколько различных множителей и символов. Самое общее определение даётся выше, но другое определение возникает после деления на постоянную ${\displaystyle mk}$, чтобы получить безразмерный сохраняющийся вектор эксцентриситета

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{mk}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-\mathbf {\hat {r}} ={\frac {m}{k}}(\mathbf {v} \times \mathbf {r} \times \mathbf {v} )-\mathbf {\hat {r}} ,}$

где ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — вектор скорости. Направление этого масштабированного вектора ${\displaystyle \mathbf {e} }$ совпадает с направлением ${\displaystyle \mathbf {A} }$, и его амплитуда равна эксцентриситету орбиты. Мы получим другие определения, если поделить ${\displaystyle \mathbf {A} }$ на ${\displaystyle m}$,

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {v} \times \mathbf {L} -k\mathbf {\hat {r}} }$

или на ${\displaystyle p_{0}}$

${\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {\mathbf {A} }{p_{0}}}={\frac {1}{\sqrt {2m|E|}}}\{\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} \},}$

который имеет ту же размерность, что и угловой момент (вектор ${\displaystyle \mathbf {L} }$). В редких случаях, знак вектора Лапласа — Рунге — Ленца может быть изменён на противоположный. Другие общие символы для вектора Лапласа — Рунге — Ленца включают ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {R} }$, ${\displaystyle \mathbf {F} }$, ${\displaystyle \mathbf {J} }$ и ${\displaystyle \mathbf {V} }$. Однако выбор множителя и символа для вектора Лапласа — Рунге — Ленца, конечно же, не влияет на его сохранение.

Рис. 3: Вектор углового момента ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {L} }$, вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {A} }$ и вектор Гамильтона, бинормаль ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {B} }$, являются взаимно перпендикулярными; ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {A} }$ и ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {B} }$ указывают на большую и на малую полуоси, соответственно, эллиптической орбиты в задаче Кеплера.

Альтернативный сохраняющийся вектор: бинормаль — вектор ${\displaystyle \mathbf {B} }$ изучен Уильямом Гамильтоном[10]

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {p} -\left({\frac {mk}{L^{2}r}}\right)(\mathbf {L} \times \mathbf {r} ),}$

который сохраняется и указывает вдоль малой полуоси эллипса. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {B} \times \mathbf {L} }$ является векторным произведением ${\displaystyle \mathbf {B} }$ и ${\displaystyle \mathbf {L} }$ (рис. 3). Вектор ${\displaystyle \mathbf {B} }$ обозначен как бинормаль, так как он перпендикулярен как ${\displaystyle \mathbf {A} }$, так и ${\displaystyle \mathbf {L} }$. Подобно вектору Лапласа — Рунге — Ленца, вектор бинормали можно определить с различными множителями.

Два сохраняющиеся вектора, ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и ${\displaystyle \mathbf {B} }$ можно объединить в сохраняющийся двухэлементный тензор ${\displaystyle \mathbf {W} }$

${\displaystyle \mathbf {W} =\alpha \mathbf {A} \otimes \mathbf {A} +\beta \mathbf {B} \otimes \mathbf {B} ,}$

где ${\displaystyle \otimes }$ обозначает тензорное произведение, а ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ — произвольные множители[11]. Записанное в компонентной записи, это уравнение читается так

${\displaystyle W_{ij}=\alpha A_{i}A_{j}+\beta B_{i}B_{j}.}$

Векторы ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ортогональны друг другу, и их можно представить как главные оси сохраняющегося тензора ${\displaystyle \mathbf {W} }$, то есть как его собственные вектора. ${\displaystyle \mathbf {W} }$ перпендикулярен ${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {W} =\alpha (\mathbf {L} \cdot \mathbf {A} )\mathbf {A} +\beta (\mathbf {L} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} =0,}$

поскольку ${\displaystyle \mathbf {A} }$ и ${\displaystyle \mathbf {B} }$ перпендикулярны, то ${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {A} =\mathbf {L} \cdot \mathbf {B} =0}$.

Сила ${\displaystyle \mathbf {F} }$, действующая на частицу, предполагается центральной. Поэтому

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=f(r){\frac {\mathbf {r} }{r}}=f(r)\mathbf {\hat {r}} }$

для некоторой функции ${\displaystyle f(r)}$ радиуса ${\displaystyle r}$. Поскольку угловой момент ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$ сохраняется под действием центральных сил, то ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {L} =0}$ и

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\times \mathbf {L} =f(r)\mathbf {\hat {r}} \times \left(\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=f(r){\frac {m}{r}}\left[\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right],}$

где импульс записан в виде ${\displaystyle \mathbf {p} =m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$, и двойное векторное произведение упростилось с помощью формулы Лагранжа

${\displaystyle \mathbf {r} \times \left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}.}$

Тождество

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} )=2\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\frac {d}{dt}}(r^{2})=2r{\frac {dr}{dt}}}$

приводит к уравнению

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )=-mf(r)r^{2}\left[{\frac {1}{r}}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}-{\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}\right]=-mf(r)r^{2}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right).}$

Для специального случая центральной силы, зависящей обратно пропорциональной квадрату расстояния ${\displaystyle f(r)={\frac {-k}{r^{2}}}}$, последнее выражение равно

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )=mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)={\frac {d}{dt}}(mk\mathbf {\hat {r}} ).}$

Тогда ${\displaystyle \mathbf {A} }$ сохраняется в этом случае

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {A} ={\frac {d}{dt}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-{\frac {d}{dt}}(mk\mathbf {\hat {r}} )=0.}$

Как показано ниже, вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} }$ является частным случаем обобщённого сохраняющегося вектора ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, который может быть определён для любой центральной силы[11][12]. Однако большинство центральных сил не формируют замкнутых орбит (см. теорема Бертрана), аналогичный вектор ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ редко имеет простое определение и в общем случае представляет собой многозначную функцию угла ${\displaystyle \theta }$ между ${\displaystyle \mathbf {r} }$ и ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Рис. 5: Медленно прецессирующая эллиптическая орбита, с эксцентриситетом ${\displaystyle \scriptstyle e=0{,}9}$. Такая прецессия возникает в проблеме Кеплера, если притягивающая центральная сила немного отличается от закона тяготения Ньютона. Скорость прецессии можно вычислить, используя приведённые в параграфе формулы.

Во многих практических проблемах, типа планетарного движения, взаимодействие между двумя телами только приблизительно зависит обратно пропорционально квадрату расстояния. В таких случаях вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} }$ не постоянен. Однако, если возмущающий потенциал ${\displaystyle h(r)}$ зависит только от расстояния, то полная энергия ${\displaystyle E}$ и вектор углового момента ${\displaystyle \mathbf {L} }$ сохраняются. Поэтому траектория движения всё ещё находится в перпендикулярной к ${\displaystyle \mathbf {L} }$ плоскости, и величина ${\displaystyle A}$ сохраняется, согласно уравнению ${\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}}$. Следовательно, направление ${\displaystyle \mathbf {A} }$ медленно вращается по орбите в плоскости. Используя каноническую теорию возмущений и координаты действие-угол, можно прямо показать[2], что ${\displaystyle \mathbf {A} }$ вращается со скоростью

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial L}}\langle h(r)\rangle ={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}h(r)\,dt\right\}={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {m}{L^{2}}}\int \limits _{0}^{2\pi }r^{2}h(r)\,d\theta \right\},}$

где ${\displaystyle T}$ — период орбитального движения и равенство ${\displaystyle L\,dt=mr^{2}\,d\theta }$ использовалось, чтобы преобразовать интеграл по времени в интеграл по углу (рис. 5). Например, принимая во внимание эффекты общей теории относительности, приходим к добавке, которая в отличие от обычной гравитационной силы Ньютона зависит обратно пропорционально кубу расстояния[25]:

${\displaystyle h(r)={\frac {kL^{2}}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {1}{r^{3}}}\right).}$

Подставляя эту функцию в интеграл и используя уравнение

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right),}$

чтобы выразить ${\displaystyle r}$ в терминах ${\displaystyle \theta }$, скорость прецессии перицентра, вызванная этим возмущением, запишется в виде[25]

${\displaystyle {\frac {6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}}.}$

которая близка по значению к величине прецессии для Меркурия необъяснённой ньютоновской теорией гравитации[26]. Это выражение используется для оценки прецессии, связанной с поправками общей теории относительности для двойных пульсаров[27]. Это согласие с экспериментом является сильным аргументом в пользу общей теории относительности[28].

Теорема Нётер утверждает, что инфинитезимальная вариация обобщённых координат физической системы

${\displaystyle \delta q_{i}=\varepsilon g_{i}(\mathbf {q} ,\;\mathbf {\dot {q}} ,\;t)}$

вызывает изменение функции Лагранжа в первом порядке на величину полной производной по времени

${\displaystyle \delta L=\varepsilon {\frac {d}{dt}}G(\mathbf {q} ,\;t)\,,}$

что соответствует сохранению величины

${\displaystyle J=-G+\sum _{i}g_{i}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)\,.}$

Эта компонента вектора Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle A_{s}}$ соответствует вариации координат[29]

${\displaystyle \delta _{s}x_{i}={\frac {\varepsilon }{2}}\left[2p_{i}x_{s}-x_{i}p_{s}-\delta _{is}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)\right],}$

где ${\displaystyle i}$ равняется 1, 2 и 3, а ${\displaystyle x_{i}}$ и ${\displaystyle {\dot {x}}_{i}}$ — ${\displaystyle i}$-е компоненты векторов положения ${\displaystyle \mathbf {r} }$ и скорости ${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} }$, соответственно. Функция Лагранжа данной системы

${\displaystyle L={\frac {m{\dot {r}}^{2}}{2}}+{\frac {k}{r}}.}$

Получающееся изменение в первом порядке малости для функции Лагранжа запишется как

${\displaystyle \delta L={\frac {1}{2}}\varepsilon mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {x_{s}}{r}}\right).}$

Это приводит к сохранению компоненты ${\displaystyle A_{s}}$

${\displaystyle A_{s}=\left[p^{2}x_{s}-p_{s}\ \left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)\right]-mk\left({\frac {x_{s}}{r}}\right)=\left[\mathbf {p} \times \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)\right]_{s}-mk\left({\frac {x_{s}}{r}}\right).}$

Рис. 6: Преобразование Ли, из которого выводится сохранение вектора Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {A} }$. Когда масштабируемый параметр ${\displaystyle \scriptstyle \lambda }$ изменяется, энергия и угловой момент тоже меняются, но эксцентриситет ${\displaystyle \scriptstyle e}$ и вектор ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {A} }$ не изменяются.

Существует другой метод вывода сохранения вектора Лапласа — Рунге — Ленца, использующий вариацию координат без привлечения скоростей[30]. Масштабирование координат ${\displaystyle \mathbf {r} }$ и времени ${\displaystyle t}$ с разной степенью параметра ${\displaystyle \lambda }$ (рис. 6)

${\displaystyle t\to \lambda ^{3}t,\;\mathbf {r} \to \lambda ^{2}\mathbf {r} ,\;\mathbf {p} \to {\frac {1}{\lambda }}\mathbf {p} }$

изменяет полный угловой момент ${\displaystyle L}$ и энергию ${\displaystyle E}$:

${\displaystyle L\to \lambda L,\;E\to {\frac {1}{\lambda ^{2}}}E}$

— но сохраняет произведение ${\displaystyle EL^{2}}$. Отсюда следует, что эксцентриситет ${\displaystyle e}$ и величина ${\displaystyle A}$ сохраняются в уже упомянутом ранее уравнении

${\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}e^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}.}$

Направление ${\displaystyle \mathbf {A} }$ также сохраняется, поскольку полуоси не изменяются при скалировании. Это преобразование оставляет верным третий закон Кеплера, а именно то, что полуось ${\displaystyle a}$ и период ${\displaystyle T}$ формируют константу ${\displaystyle T^{2}/a^{3}}$.

Для трёх компонент ${\displaystyle L_{i}}$ вектора углового момента ${\displaystyle \mathbf {L} }$ можно определить скобки Пуассона

${\displaystyle [L_{i},\;L_{j}]=-\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s},}$

где индекс ${\displaystyle i}$ пробегает значения 1, 2, 3 и ${\displaystyle \varepsilon _{ijs}}$ — абсолютно антисимметричный тензор, то есть символ Леви-Чивита (третий индекс суммирования ${\displaystyle s}$, чтобы не путать с силовым параметром ${\displaystyle k}$, определённым выше). В качестве скобок Пуассона используются квадратные скобки (а не фигурные), как и в литературе и, в том числе, чтобы интерпретировать их как квантовомеханические коммутационные соотношения в следующем разделе.

Как показано выше, изменённый вектор Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {D} }$ можно определить с той же размерностью, что и угловой момент, разделив ${\displaystyle \mathbf {A} }$ на ${\displaystyle p_{0}}$. Скобка Пуассона ${\displaystyle \mathbf {D} }$ с вектором углового момента ${\displaystyle \mathbf {L} }$ запишется в похожем виде

${\displaystyle [D_{i},\;L_{j}]=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}D_{s}.}$

Скобка Пуассона ${\displaystyle \mathbf {D} }$ с ${\displaystyle \mathbf {D} }$ зависит от знака ${\displaystyle E}$, то есть когда полная энергия ${\displaystyle E}$ отрицательна (эллиптические орбиты под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния) или положительная (гиперболические орбиты). Для отрицательных энергий скобки Пуассона примут вид

${\displaystyle [D_{i},\;D_{j}]=-\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s}.}$

В то время как для положительных энергий скобки Пуассона имеют противоположный знак

${\displaystyle [D_{i},\;D_{j}]=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s}.}$

Инварианты Казимира для отрицательных энергий определяются посредством следующих соотношений

${\displaystyle C_{1}=\mathbf {D} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} ={\frac {mk^{2}}{2|E|}},}$

${\displaystyle C_{2}=\mathbf {D} \cdot \mathbf {L} =0}$

и мы имеем нулевые скобки Пуассона для всех компонент ${\displaystyle \mathbf {D} }$ и ${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle [C_{1},\;L_{i}]=[C_{1},\;D_{i}]=[C_{2},\;L_{i}]=[C_{2},\;D_{i}]=0.}$

${\displaystyle C_{2}}$ равен нулю, из-за ортогональности векторов. Однако другой инвариант ${\displaystyle C_{1}}$ нетривиален и зависит только от ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle E}$. Этот инвариант можно использовать для вывода спектра атома водорода, используя только квантовомеханическое каноническое коммутационное соотношение, вместо более сложного уравнения Шрёдингера.

Вариация координаты приводит к сохранению длины вектора Лапласа — Рунге — Ленца (см. теорема Нётер). Это сохранение можно рассматривать как некоторую симметрию системы. В классической механике, симметрии — непрерывные операции, которые отображают одну орбиту на другую, не изменяя энергию системы; в квантовой механике, симметрии — непрерывные операции, которые смешивают атомные орбитали, не изменяя полную энергию. Например, любая центральная сила приводя к сохранению углового момента ${\displaystyle \mathbf {L} }$. В физике обычно встречаются консервативные центральные силы, обладающие симметрией группы вращения SO(3). Классически, полное вращение системы не затрагивает энергию орбиты; квантовомеханически, вращения смешивают сферические функции с тем же самым квантовым числом ${\displaystyle l}$ (вырожденные состояния), не изменяя энергию.

Рис. 7: Семейство кругов годографа импульса для заданной энергии ${\displaystyle \scriptstyle l}$. Все круги проходят через две точки ${\displaystyle \scriptstyle \pm p_{0}=\pm {\sqrt {2m|E|}}}$ на оси ${\displaystyle \scriptstyle p_{x}}$ (сравните с рис. 3). Это семейство годографов соответствует семейству окружностей Аполлония, и ${\displaystyle \scriptstyle \sigma }$ изоповерхностям биполярных координат.

Симметрия повышается для центральной силы, обратной квадрату расстояния. Специфическая симметрия проблемы Кеплера приводит к сохранению как вектора углового момента ${\displaystyle \mathbf {L} }$, так и вектора Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} }$ (как определено выше) и квантовомеханически гарантирует, что уровни энергии атома водорода не зависят от квантовых чисел углового момента ${\displaystyle l}$ и ${\displaystyle m}$. Симметрия является более тонкой, потому что операция симметрии должна иметь место в пространстве большей размерности; такие симметрии часто называют скрытыми симметриями[30]. Классически, более высокая симметрия проблемы Кеплера учитывает непрерывные изменения орбит, которые сохраняют энергию, но не угловой момент; другими словами, орбиты с одинаковой энергией, но различными угловыми моментами (эксцентриситетом) могут быть преобразованы непрерывно друг в друга. Квантовомеханически это соответствует смешиванию орбиталей, которые отличаются квантовыми числами ${\displaystyle l}$ и ${\displaystyle m}$, атомные орбитали типа ${\displaystyle s}$ (${\displaystyle l=0}$) и ${\displaystyle p}$ (${\displaystyle l=1}$). Такое смешивание нельзя произвести с обычными трёхмерными трансляциями или вращениями, но оно эквивалентно вращению в пространстве с более высоким измерением.

Связанная система с отрицательной полной энергией обладает симметрией SO(4), которая сохраняет длину четырёхмерных векторов

${\displaystyle |\mathbf {e} |^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}+e_{4}^{2}.}$

В 1935 году Владимир Фок показал, что квантовомеханическая проблема Кеплера эквивалентна проблеме свободной частицы, ограниченной четырёхмерной гиперсферой[7]. В частности, Фок показал, что волновая функция уравнения Шрёдингера в пространстве импульсов для проблемы Кеплера представляет собой четырёхмерное обобщение стереографической проекции сферических функций из 3-сферы в трёхмерное пространство. Вращение гиперсферы и перепроектирование приводит к непрерывному преобразованию эллиптических орбит, не изменяющему энергию; квантовомеханически это соответствует смешиванию всех орбиталей с одинаковым главным квантовым числом ${\displaystyle n}$. Валентин Баргман отметил впоследствии, что скобки Пуассона для вектора углового момента ${\displaystyle \mathbf {L} }$ и скалированного вектора Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {D} }$ формируют алгебру Ли для ${\displaystyle SO(4)}$.[8] Проще говоря, эти шесть величин ${\displaystyle \mathbf {D} }$ и ${\displaystyle \mathbf {L} }$ соответствуют шести сохраняющимся угловым импульсам в четырёх измерениях, связанных с шестью возможными простыми вращениями в этом пространстве (есть шесть способов выбрать две оси из четырёх). Это заключение не подразумевает, что наша Вселенная — четырёхмерная гиперсфера; это просто означает, что эта специфическая проблема физики (проблема двух тел для центральной силы, зависящей обратно квадрату расстояния) математически эквивалентна свободной частице на четырёхмерной гиперсфере.

Рассеянная система с положительной полной энергией обладает симметрией SO(3,1), которая сохраняет длину 4-вектора в пространстве с метрикой Минковского

${\displaystyle ds^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}-e_{4}^{2}.}$

Фок[7] и Баргман[8] рассмотрели как отрицательные, так и положительные энергии. Они также были рассмотрены энциклопедически Бендером и Ициксоном[31][32]. Недавнее исследование Ефимова С.П. показало, что результат В. Фока переносится из искривленного импульсного пространства в 4-х мерное координатное [33]. При этом переход от четырехмерных сферических функций в физическое трехмерное пространство возникает просто при замене четвертой "лишней" координаты на мнимый радиус вектор ${\displaystyle \imath r}$. Найденное координатное пространство оказывается в теории "ближе", чем искривленное пространство В. Фока.

Рис. 8: Годограф импульса на рис. 7 соответствует стереографической проекции больших кругов из четырёхмерной ${\displaystyle \scriptstyle \eta }$ сферы единичного радиуса. Все большие круги пересекают ${\displaystyle \scriptstyle \eta _{x}}$ ось, которая направлена перпендикулярно странице. Проекция из северного полюса (единичный вектор ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {w} }$) к (${\displaystyle \scriptstyle \eta _{x}}$-${\displaystyle \scriptstyle \eta _{y}}$) плоскости, как показано для пурпурного годографа пунктирной чёрной линией. Большой круг на широте ${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$ соответствует эксцентриситету ${\displaystyle \scriptstyle e=\sin \alpha }$. Цвета больших кругов, показанных здесь, соответствуют цветам их годографов на рис. 7.

Связь между проблемой Кеплера и вращениями в четырёхмерном пространстве SO(4) можно достаточно просто визуализировать[31][34][35]. Пусть в четырёхмерном пространстве заданы декартовы координаты, которые обозначены ${\displaystyle (w,\;x,\;y,\;z)}$, где ${\displaystyle (x,\;y,\;z)}$ представляют декартовы координаты обычного положения трёхмерного вектора ${\displaystyle \mathbf {r} }$. Трёхмерный вектор импульса ${\displaystyle \mathbf {p} }$ связан с четырёхмерным вектором ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$ на четырёхмерной единичной сфере посредством

${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}={\frac {p^{2}-p_{0}^{2}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {2p_{0}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {p} ={\frac {mk-rpp_{0}}{mk}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {rp_{0}}{mk}}\mathbf {p} ,}$

где ${\displaystyle \mathbf {\hat {w}} }$ — единичный вектор вдоль новой оси ${\displaystyle w}$. Поскольку ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$ имеет только три независимые компоненты, то этот вектор можно обратить, получив выражение для ${\displaystyle \mathbf {p} }$. Например, для компоненты ${\displaystyle x}$

${\displaystyle p_{x}=p_{0}{\frac {\eta _{x}}{1-\eta _{w}}}}$

и аналогично для ${\displaystyle p_{y}}$ и ${\displaystyle p_{z}}$. Другими словами, трёхмерный вектор ${\displaystyle \mathbf {p} }$ является стереографической проекцией четырёхмерного вектора ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$, умноженному на ${\displaystyle p_{0}}$ (рис. 8).

Без потери общности, мы можем устранить нормальную вращательную симметрию, выбирая декартовы координаты, где ось ${\displaystyle z}$ направлена вдоль вектора углового момента ${\displaystyle \mathbf {L} }$, и годограф импульса расположен как показано на рисунке 7, с центрами кругов на оси ${\displaystyle y}$. Так как движение происходит в плоскости, а ${\displaystyle \mathbf {p} }$ и ${\displaystyle L}$ ортогональны, ${\displaystyle p_{z}=\eta _{z}=0}$, и внимание можно сосредоточить на трёхмерном векторе ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}=(\eta _{w},\;\eta _{x},\;\eta _{y})}$. Семейство окружностей Аполлония годографов импульса (рис. 7) соответствует множеству больших кругов на трёхмерной сфере ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$, все из которых пересекают ось ${\displaystyle \eta _{x}}$ в этих двух фокусах ${\displaystyle \eta _{x}=\pm 1}$, соответствующих фокусам годографа импульса при ${\displaystyle p_{x}=\pm p_{0}}$. Большие круги связаны простым вращением вокруг оси ${\displaystyle \eta _{x}}$ (рис. 8). Эта вращательная симметрия преобразует все орбиты с той же самой энергией друг в друга; однако, такое вращение ортогонально к обычным трёхмерным вращениям, так как оно преобразует четвёртое измерение ${\displaystyle \eta _{w}}$. Эта более высокая симметрия характерна для проблемы Кеплера и соответствует сохранению вектора Лапласа — Рунге — Ленца.

Изящное решение для проблемы Кеплера с использованием переменных угол-действие можно получить, избавляясь от избыточной четырёхмерной координаты ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$ и используя эллиптические цилиндрические координаты ${\displaystyle (\alpha ,\;\beta ,\;\varphi )}$[36]

${\displaystyle \eta _{w}=\mathrm {cn} \,\alpha \,\mathrm {cn} \,\beta ,}$

${\displaystyle \eta _{x}=\mathrm {sn} \,\alpha \,\mathrm {dn} \,\beta \cos \varphi ,}$

${\displaystyle \eta _{y}=\mathrm {sn} \,\alpha \,\mathrm {dn} \,\beta \sin \varphi ,}$

${\displaystyle \eta _{z}=\mathrm {dn} \,\alpha \,\mathrm {sn} \,\beta ,}$

где используются эллиптические функции Якоби: ${\displaystyle \mathrm {sn} }$, ${\displaystyle \mathrm {cn} }$ и ${\displaystyle \mathrm {dn} }$.

Рис. 9: Уровни энергии водородного атома, предсказанные с использованием коммутационных соотношений углового момента и векторных операторов Лапласа — Рунге — Ленца; эти уровни энергии были проверены экспериментально.

Скобки Пуассона дают простой способ для квантования классической системы. Коммутатор двух квантовомеханических операторов равняется скобке Пуассона соответствующих классических переменных, умноженной на ${\displaystyle i\hbar }$[37]. Выполняя это квантование и вычисляя собственные значения ${\displaystyle C_{1}}$ оператора Казимира для проблемы Кеплера, Вольфганг Паули вывел энергетический спектр водородоподобного атома (рис. 9) и, таким образом, его атомный эмиссионный спектр[3]. Это изящное решение было получено до получения уравнения Шрёдингера[38].

Особенность квантовомеханического оператора для вектора Лапласа — Рунге — Ленца ${\displaystyle \mathbf {A} }$ заключается в том, что импульс и операторы углового момента не коммутируют друг с другом, следовательно, векторное произведение ${\displaystyle \mathbf {p} }$ и ${\displaystyle \mathbf {L} }$ должно быть определено тщательно[39]. Как правило, операторы в декартовой системе координат ${\displaystyle A_{s}}$ определены с помощью симметризованного произведения

${\displaystyle A_{s}=-mk{\hat {r}}_{s}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{sij}(p_{i}l_{j}-l_{i}p_{j}),}$

из которого определяются соответствующие лестничные операторы

${\displaystyle A_{0}=A_{3},}$

${\displaystyle A_{\pm 1}=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}(A_{1}\pm iA_{2}).}$

Нормированный оператор первого инварианта Казимира может быть определён подобным образом

${\displaystyle C_{1}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}}}H^{-1}-I,}$

где ${\displaystyle H^{-1}}$ — оператор, обратный к оператору энергии (гамильтониан) и ${\displaystyle I}$ — единичный оператор. Применяя эти лестничные операторы к собственным состояниям ${\displaystyle |lmn\rangle }$ операторов полного углового момента, азимутального углового момента и энергии, можно показать, что собственные состояния первого оператора Казимира задаются формулой ${\displaystyle n^{2}-1}$. Следовательно, уровни энергии даются выражением

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}n^{2}}},}$

которое идентично формуле Ридберга для атома водорода (рис 9).

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца был обобщён на другие потенциалы и даже на специальную теорию относительности. Наиболее общую форму этого вектора можно записать в виде[11]

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )+\left[\xi -u\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\right]L^{2}\mathbf {\hat {r}} ,}$

где ${\displaystyle u=1/r}$ (см. теорема Бертрана) и ${\displaystyle \xi =\cos \theta }$, с углом ${\displaystyle \theta }$, определённым как

${\displaystyle \theta =L\int \limits ^{u}{\frac {du}{\sqrt {m^{2}c^{2}(\gamma ^{2}-1)-L^{2}u^{2}}}}.}$

Здесь ${\displaystyle \gamma }$ — релятивистский фактор. Как и раньше, можно получить сохраняющийся вектор бинормали ${\displaystyle \mathbf {B} }$, взяв векторное произведение с сохраняющимся вектором углового момента

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\mathbf {L} \times {\mathcal {A}}.}$

Эти два вектора можно соединить в сохраняющийся двухкомпонентный тензор ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\alpha {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}+\beta {\mathcal {B}}\otimes {\mathcal {B}}.}$

Для примера вычислим вектор Лапласа — Рунге — Ленца для нерелятивистского изотропного гармонического осциллятора.[11] Рассмотрим центральную силу:

${\displaystyle \mathbf {F} (r)=-k\mathbf {r} }$

вектор углового момента сохраняется, и поэтому движение происходит в плоскости. Сохраняющийся тензор можно переписать в более простом виде:

${\displaystyle \mathbf {W} ={\frac {1}{2m}}\mathbf {p} \otimes \mathbf {p} +{\frac {k}{2}}\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} ,}$

хотя нужно заметить, что ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle r}$ не перпендикулярны, как ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$. Соответствующий вектор Лапласа — Рунге — Ленца имеет более сложную запись

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\sqrt {mr^{2}\omega _{0}A-mr^{2}E+L^{2}}}}\{(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )+(mr\omega _{0}A-mrE)\mathbf {\hat {r}} \},}$

где ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ — частота осциллятора.