Закон Кулона

Закон открыт Шарлем Кулоном в 1785 году. Проведя большое количество опытов с металлическими шариками, Кулон дал такую формулировку закона:

Модуль силы взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме прямо пропорционален произведению модулей этих зарядов и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними.

Современная формулировка[1]:

Сила взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды, пропорциональна их величинам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Она является силой притяжения, если знаки зарядов разные, и силой отталкивания, если эти знаки одинаковы.

В векторном виде в формулировке Ш. Кулона закон записывается как

${\displaystyle {\vec {F}}_{12}=k\cdot {\frac {q_{1}\cdot q_{2}}{r_{12}^{2}}}\cdot {\frac {{\vec {r}}_{12}}{r_{12}}}}$,

где ${\displaystyle {\vec {F}}_{12}}$ — сила, с которой заряд 1 действует на заряд 2; ${\displaystyle q_{1},q_{2}}$ — величина зарядов (со знаком); ${\displaystyle {\vec {r}}_{12}}$ — вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2 и по модулю равный расстоянию между зарядами (${\displaystyle r_{12}}$); ${\displaystyle k}$ — коэффициент пропорциональности.

Для того, чтобы закон был верен, необходимы:

1. точечность зарядов, то есть расстояние между заряженными телами должно быть много больше их размеров. Здесь две оговорки: а) существует обобщение закона Кулона на случай тел конечных размеров; б) можно доказать, что сила взаимодействия двух объёмно распределённых зарядов со сферически симметричными непересекающимися пространственными распределениями равна силе взаимодействия двух эквивалентных точечных зарядов, размещённых в центрах сферической симметрии;
2. их неподвижность. Иначе вступают в силу дополнительные эффекты: магнитное поле движущегося заряда и соответствующая ему дополнительная сила Лоренца, действующая на другой движущийся заряд;
3. расположение зарядов в вакууме.

В отдельных ситуациях, с корректировками, закон может быть применен также для взаимодействий зарядов в среде и для движущихся зарядов[2]. Но в общем случае при наличии неоднородных диэлектриков он неприменим, поскольку помимо заряда ${\displaystyle q_{1}}$ на зарад ${\displaystyle q_{2}}$ действуют связанные заряды, возникшие при поляризации.

В СГСЭ единица измерения заряда выбрана таким образом, что коэффициент ${\displaystyle k}$ равен единице.

В Международной системе единиц (СИ) одной из основных единиц является единица силы электрического тока — ампер, а единица заряда — кулон — производная от него. Величина ампера определена таким образом, что k = c²·10⁻⁷ Гн/м = 8,9875517873681764⋅10⁹ Н·м²/Кл² (или Ф⁻¹·м). В СИ коэффициент k записывается в виде:

${\displaystyle k={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$,

где ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ≈ 8,85418781762⋅10⁻¹² Ф/м — электрическая постоянная.

В случае среды, заполненной бесконечным однородным изотропным диэлектрическим веществом, в знаменатель формулы закона Кулона добавляется диэлектрическая проницаемость среды ε. Тогда

${\displaystyle k={\frac {1}{\varepsilon }}\,\,}$ (в СГСЭ) ${\displaystyle \quad k={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon }}\,\,}$ (в СИ).

Закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей в вакууме полностью равносильны уравнениям Максвелла для электростатики ${\displaystyle \mathrm {div} {\vec {D}}=\rho }$ (${\displaystyle \rho }$ — плотность заряда, ${\displaystyle {\vec {D}}}$ — вектор электрического смещения) и ${\displaystyle \mathrm {rot} {\vec {E}}=0}$ (${\displaystyle {\vec {E}}}$ — напряжённость электрического поля). То есть закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей выполняются тогда и только тогда, когда выполняются уравнения Максвелла для электростатики, и наоборот, уравнения Максвелла для электростатики выполняются, тогда когда выполняются закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей[3].

Исторически закон Кулона был одним из эмпирических законов, служивших предпосылками для формулирования уравнения Максвелла. Однако при современном изложении учения об электромагнетизме этот закон (равно как и, скажем, закон Ампера) нередко позиционируется как следствие уравнений Максвелла, которым придаётся статус фундаментальных аксиом.

Если на заряд ${\displaystyle q_{2}}$ действует не точечный заряд ${\displaystyle q_{1}}$, а заряд, распределённый в пространстве с плотностью ${\displaystyle \rho _{1}({\vec {r}})}$ (Кл/м³), то область, где ${\displaystyle \rho _{1}\neq 0}$, можно мысленно разбить на малые (в пределе — бесконечно малые) элементы объёма ${\displaystyle dV_{1}}$ и каждый такой элемент рассматривать как точечный заряд ${\displaystyle \rho _{1}({\vec {r}}_{1})\,dV_{1}}$. По принципу суперпозиции, суммарная сила, действующая на заряд ${\displaystyle q_{2}}$ со стороны таких элементов, может быть определена как интеграл по ним:

${\displaystyle {\vec {F}}_{12}={\frac {q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{V_{1}}{\frac {({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})\,\rho _{1}({\vec {r}}_{1})dV_{1}}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}}$,

где радиус-вектором ${\displaystyle {\vec {r}}_{2}}$ задаётся положение заряда ${\displaystyle q_{2}}$, а радиус-вектором ${\displaystyle {\vec {r}}_{1}}$ — положение элемента ${\displaystyle dV}$. Если в случае точечного ${\displaystyle q_{1}}$ вектор ${\displaystyle {\vec {r}}_{1}}$ был фиксированным, то теперь он пробегает все положения элементов.

Если же не только заряд ${\displaystyle q_{1}}$, но и заряд ${\displaystyle q_{2}}$ являются распределёнными, то производится интегрирование и по элементам первого, и по элементам второго заряда, а именно

${\displaystyle {\vec {F}}_{12}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{V_{2}}\int _{V_{1}}{\frac {({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})\,\rho _{1}({\vec {r}}_{1})dV_{1}\,\rho _{2}({\vec {r}}_{2})dV_{2}}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}}$.

Взаимодействие двух зарядов может быть истрактовано как взаимодействие одного из зарядов с электрическим полем, воздаваемым другим зарядом. Это становится виднее, если соответствующим образом перегруппировать сомножители в выражении для силы:

${\displaystyle {\vec {F}}_{12}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {q_{1}q_{2}({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}=q_{2}\cdot \left[{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {q_{1}({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}\right]=q_{2}\cdot E_{1}({\vec {r}}_{2})}$.

Тем самым закон Кулона фактически становится основой для вычисления поля. Так же, как и при рассмотрении силы, возможно обобщение последнего равенства на случай распределения зарядов.

Для нахождения поля ${\displaystyle {\vec {E}}}$ (${\displaystyle =-{\rm {{grad}\,\varphi }}}$) и электрического потенциала ${\displaystyle \varphi }$ в точке ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$, создаваемого распределённым зарядом, производится интегрирование:

${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}}_{0})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {({\vec {r}}_{0}-{\vec {r}})\,dq({\vec {r}})}{|{\vec {r}}_{0}-{\vec {r}}|^{3}}},\qquad \varphi ({\vec {r}}_{0})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {dq({\vec {r}})}{|{\vec {r}}_{0}-{\vec {r}}|}}}$,

где заряд ${\displaystyle dq}$ обычно записывается как ${\displaystyle \rho ({\vec {r}})dV}$ (и интегрирование тогда выполняется по объёму), но в ряде задач может задаваться как ${\displaystyle \sigma ({\vec {r}})dS}$ (если заряд поверхностный, [${\displaystyle \sigma }$] = Кл/м², интерирование по площади) или как ${\displaystyle \lambda ({\vec {r}})dl}$ (заряд линейный [${\displaystyle \lambda }$] = Кл/м, интеграл по линии).

Если всё пространство заполнено однородным диэлектриком с проницаемостью ${\displaystyle \varepsilon }$, то формулы сохраняют свою актуальность, если в них ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ заменить на ${\displaystyle \varepsilon _{0}\varepsilon }$. В других случаях, за редкими исключениями, формулы неприменимы, так как необходимо учитывать вклад в том числе связанных зарядов (${\displaystyle \rho =\rho _{f}+\rho _{b}}$, где ${\displaystyle \rho _{f}}$ — плотность стороннего, а ${\displaystyle \rho _{b}}$ — связанного заряда), возникающих при поляризации, — а эти заряды заранее неизвестны.

Закон Кулона совершенно аналогичен по форме закону всемирного тяготения. При этом функцию гравитационных масс выполняют электрические заряды[4] разных знаков.

Магнитостатическими аналогами закона Кулона являются закон Ампера (в части нахождения сил взаимодействия) и закон Био — Савара — Лапласа (в части расчёта по́ля).

На небольших расстояниях (порядка комптоновской длины волны электрона):

${\displaystyle \lambda _{e}={\frac {\hbar }{m_{e}c}}\approx 3{,}86\cdot 10^{-13}}$ м[22],

где ${\displaystyle m_{e}}$ — масса электрона, ${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Планка, ${\displaystyle c}$ — скорость света) становятся существенными нелинейные эффекты квантовой электродинамики: на обмен виртуальными фотонами накладывается генерация виртуальных электрон-позитронных (а также мюон-антимюонных и таон-антитаонных) пар, а также уменьшается влияние экранирования (см. перенормировка). Оба эффекта ведут к появлению экспоненциально убывающих членов порядка ${\displaystyle e^{-2r/\lambda _{e}}}$ в выражении для потенциальной энергии взаимодействия зарядов и, как результат, к увеличению силы взаимодействия по сравнению с вычисляемой по закону Кулона.

Например, выражение для потенциала точечного заряда ${\displaystyle Q}$ в системе СГС, с учётом радиационных поправок первого порядка, принимает вид [23]:

${\displaystyle \Phi (r)={\frac {Q}{r}}\cdot \left(1+{\frac {\alpha }{4{\sqrt {\pi }}}}{\frac {e^{-2r/\lambda _{e}}}{(r/\lambda _{e})^{3/2}}}\right),}$

где ${\displaystyle \lambda _{e}}$ — комптоновская длина волны электрона, ${\displaystyle \alpha ={\frac {e^{2}}{\hbar c}}}$ — постоянная тонкой структуры и ${\displaystyle r\gg \lambda _{e}}$.

На расстояниях порядка ${\displaystyle \lambda _{W}={\frac {\hbar }{m_{w}c}}\sim }$ 10⁻¹⁸ м, где ${\displaystyle m_{w}}$ — масса W-бозона, в игру вступают уже электрослабые эффекты.

В сильных внешних электромагнитных полях, составляющих заметную долю от поля пробоя вакуума (порядка ${\displaystyle {\frac {m_{e}c^{2}}{e\lambda _{e}}}\sim }$ 10¹⁸ В/м или ${\displaystyle {\frac {m_{e}c}{e\lambda _{e}}}\sim }$ 10⁹ Тл, такие поля наблюдаются, например, вблизи некоторых типов нейтронных звёзд, а именно магнитаров) закон Кулона также нарушается в силу дельбрюковского рассеяния обменных фотонов на фотонах внешнего поля и других, более сложных нелинейных эффектов. Это явление уменьшает кулоновскую силу не только в микро-, но и в макромасштабах, в частности, в сильном магнитном поле кулоновский потенциал падает не обратно пропорционально расстоянию, а экспоненциально[24].

Явление поляризации вакуума в квантовой электродинамике заключается в образовании виртуальных электронно-позитронных пар. Облако электронно-позитронных пар экранирует электрический заряд электрона. Экранировка растет с ростом расстояния от электрона, в результате эффективный электрический заряд электрона ${\displaystyle e_{e}}$ является убывающей функцией расстояния ${\displaystyle e_{e}=e_{e}(r)}$[25]. Эффективный потенциал, создаваемый электроном с электрическим зарядом ${\displaystyle e}$, можно описать зависимостью вида ${\displaystyle e_{e}(r)/r}$. Эффективный заряд ${\displaystyle e_{e}(r)}$ зависит от расстояния ${\displaystyle r}$ по логарифмическому закону:

${\displaystyle {\frac {e_{e}(r)}{e}}=1+{\frac {2\alpha }{3\pi }}\ln {\frac {r_{e}}{r}}+\dots ,}$

где

${\displaystyle \alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}}\approx 7.3\cdot 10^{-3}}$ — постоянная тонкой структуры;

${\displaystyle r_{e}={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}m_{e}}}\approx 2.8\cdot 10^{-13}}$ см — классический радиус электрона[26][27].

Явление отклонения электростатического потенциала точечных зарядов в вакууме от значения закона Кулона известно как эффект Юлинга, который впервые вычислил отклонения от закона Кулона для атома водорода. Эффект Юлинга даёт поправку к лэмбовскому сдвигу 27 МГц[28][29].

В сильном электромагнитном поле вблизи сверхтяжёлых ядер с зарядом ${\displaystyle Z>170}$ осуществляется перестройка вакуума, аналогичная обычному фазовому переходу. Это приводит к поправкам к закону Кулона[30].