Магнитостатика

Магнитоста́тика — раздел классической электродинамики, изучающий взаимодействие постоянных токов посредством создаваемого ими постоянного магнитного поля и способы расчета магнитного поля в этом случае. Под случаем магнитостатики или приближением магнитостатики понимают выполнение этих условий (постоянства токов и полей — или достаточно медленное их изменение со временем), чтобы можно было пользоваться методами магнитостатики в качестве практически точных или хотя бы приближенных. Магнитостатика вместе с электростатикой представляют собой частный случай (или приближение) классической электродинамики; их можно использовать совместно и независимо (расчет электрического и магнитного полей в этом случае не имеет взаимозависимостей — в отличие от общего электродинамического случая).

Основные уравнения

Все основные уравнения магнитостатики линейны[1] (как и классической электродинамики вообще, частным случаем которой магнитостатика является). Это подразумевает важную роль в магнитостатике (тоже как и во всей электродинамике) принципа суперпозиции.

Принцип суперпозиции для магнитостатики может быть сформулирован так: Магнитное поле, создаваемое несколькими токами, есть векторная сумма полей, которые бы создавались каждым из этих токов по отдельности.

Этот принцип одинаково формулируется и в принципе одинаково используется для вектора магнитной индукции и для векторного потенциала и применяется при расчетах повсеместно. Особенно очевидным и прямым образом это проявляется, когда при применении закона Био — Савара (см. ниже) для расчета магнитного поля ${\vec {B}}$ производится суммирование (интегрирование) бесконечно малых вкладов $d{\vec {B}}$ , создаваемых каждым бесконечно малым элементом тока, текущих в разных точках пространства (точно так же и при применении варианта этого закона для векторного потенциала).

Основные уравнения, используемые в магнитостатике[2]:

Закон Био — Савара — Лапласа (величина магнитного поля, генерируемого в данной точке элементом тока)
$d{\vec {B}}={\frac {I}{c}}{\frac {\left[{\vec {dl}}\times {\vec {r}}\right]}{r^{3}}},$

$d{\vec {B}}={\frac {1}{c}}{\frac {\left[{\vec {j}}dV\times {\vec {r}}\right]}{r^{3}}}.$
Теорема о циркуляции магнитного поля
$\oint {\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}I\equiv {\frac {4\pi }{c}}\int {\vec {j}}\cdot {\vec {dS}}.$
Она же в дифференциальной форме:
$\mathrm {rot} {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}.$
Выражение для силы Лоренца (силы, с которой на движущуюся заряженную частицу действует магнитное поле)
${\vec {F}}={\frac {q}{c}}\left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right].$
Выражение для силы Ампера (силы, с которой на элемент тока действует магнитное поле)
$d{\vec {F}}={\frac {I}{c}}\left[{\vec {dl}}\times {\vec {B}}\right].$

(Уравнения выше записаны в гауссовой системе единиц); в других системах единиц эти формулы отличаются только постоянными коэффициентами, например:

в системе СИ

В системе СИ эти уравнения (также для вакуума) выглядят вот как:

Закон Био — Савара — Лапласа:
$d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {\left[I{\vec {dl}}\times {\vec {r}}\right]}{r^{3}}},$

$d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {\left[{\vec {j}}dV\times {\vec {r}}\right]}{r^{3}}}.$
Теорема о циркуляции магнитного поля:
$\oint {\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}=\mu _{0}I\equiv \mu _{0}\int {\vec {j}}\cdot {\vec {dS}}.$
Она же в дифференциальной форме:
$\mathrm {rot} {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}.$
Сила Лоренца:
${\vec {F}}=q\left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right].$
Сила Ампера:
$d{\vec {F}}=I\left[{\vec {dl}}\times {\vec {B}}\right].$

Здесь ${\vec {B}}$ — вектор магнитной индукции, I — сила тока в проводнике (а в теореме о циркуляции — суммарный ток через поверхность), ${\vec {dl}}$ — элемент проводника (в теореме о циркуляции — элемент контура интегрирования), ${\vec {r}}$ — радиус-вектор, проведённый из элемента тока в точку, в которой определяется магнитное поле, ${\vec {j}}$ — плотность тока, $q,{\vec {v}}$ — величина заряда и скорость заряженной частицы.

Для расчёта магнитного поля в магнитостатике можно пользоваться (и часто это весьма удобно) понятием магнитного заряда, делающим аналогию магнитостатики с электростатикой более детальной и позволяющим применять в магнитостатике формулы, аналогичные формулам электростатики — но не для электрического, а для магнитного поля. Обычно (за исключением случая теоретического рассмотрения гипотетических магнитных монополей) подразумевается лишь чисто формальное использование, так как в реальности магнитные заряды не обнаружены. Такое формальное использование (фиктивных) магнитных зарядов возможно благодаря теореме эквивалентности поля магнитных зарядов и поля постоянных электрических токов. Фиктивные магнитные заряды можно использовать при решении разных задач как в качестве источников магнитного поля (например, магнитом или катушкой), так и для определения действия внешних магнитных полей на магнитное тело (магнит, катушку).

Уравнения магнитостатики в среде

Уравнения «для вакуума», приведенные в начале статьи, являются наиболее фундаментальными и простыми (в принципе) уравнениями магнитостатики.

Однако если речь идет о вычислении магнитного поля в среде магнетика, более удобными для практических вычислений, а до некоторой степени и в теоретическом плане, являются менее фундаментальные, однако хорошо приспособленные к этой ситуации, так называемые уравнения для среды (или в среде).

Говоря о терминологии, следует заметить, что термины уравнения для вакуума и уравнения для среды можно считать в заметной мере условными[3], однако эта терминология имеет довольно ясное оправдание (см. предыдущее примечание); кроме того, она достаточно устоявшаяся и поэтому не приводит к путанице.

Итак, уравнения для среды используются в магнитостатике для того, чтобы исследовать магнитное поле в случае, когда всё пространство или некоторые его области заполнено магнитной средой (магнетиками). Подразумевается обычно, что среда рассматривается макроскопически (то есть микроскопические поля — поля на атомных масштабах — усредняются, атомные, молекулярные токи и магнитные моменты также рассматриваются только в их совокупности). На микроскопическом уровне действуют[4] фундаментальные уравнения для вакуума, описанные в статье выше, поэтому в контексте исследования в среде уравнения для вакуума называются также микроскопическими уравнениями в противоположность самим макроскопическим уравнениям для поля в среде.

Формулы для действия поля на движущийся заряд (силы Лоренца) или на ток (силы Ампера) для случая магнитных сред сохраняются полностью неизменными, такими же, как и для вакуума.

Что касается остальных уравнений, они претерпевают для среды определённые изменения по сравнению с вакуумом (имеются в виду, конечно, макроскопические уравнения, микроскопические остаются теми же, что и для вакуума).

В принципе, можно вводить эти изменения по-разному[5], но весьма общий, традиционный и удобный подход, являющийся общепринятым и стандартным[6] : записать уравнения с использованием вспомогательной физической величины напряженность магнитного поля ${\vec {H}}$ , специально вводимой в этом случае.

{\vec {H}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}-{\vec {M}},

где $\mu _{0}$ — в системе СИ,

{\vec {H}}={\vec {B}}-4\pi {\vec {M}}

— в системе СГС.

Здесь ${\vec {M}}$ — вектор намагниченности, характеризующий магнитную поляризацию среды.

Смысл её введения состоит в том, что с её помощью можно переписать все основные уравнения в виде, очень похожем на тот, что имеют фундаментальные уравнения (для вакуума), а всё касающееся реальной среды поместить по возможности в отдельное уравнение, что позволяет лучше логически структурировать задачу. В сравнительно простых, но важных случаях, к которым относится и практически вся магнитостатика, это удается сделать настолько хорошо, что, в принципе, действительно всё, касающееся конкретной среды, оказывается полностью спрятано в единственную зависимость — зависимость намагниченности от намагничивающего поля (то есть, в принципе, в одну-единственную формулу)[7] вида ${\vec {M}}=f({\vec {H}})$ (для случая ферромагнетиков, если требовать точности описания, несколько сложнее, но ненамного).

При этом, что также ценно, уравнения для вакуума становятся частным случаем уравнений для среды (случаем среды с всегда нулевой намагниченностью).

В простейшем, но практически важном случае линейного[8] отклика среды на намагничивающее поле, ${\vec {B}}$ просто пропорционально ${\vec {H}}$ , а если среда изотропна по своим магнитным свойствам, то это сводится просто к умножению на число:

{\vec {B}}=\mu _{0}\mu {\vec {H}}

в СИ[9].

Основные уравнения магнитостатики для среды (в системе СИ)

Закон Био — Савара — Лапласа:
$d{\vec {H}}={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\left[I{\vec {dl}}\times {\vec {r}}\right]}{r^{3}}},$

$d{\vec {H}}={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\left[{\vec {j}}dV\times {\vec {r}}\right]}{r^{3}}}.$
Теорема о циркуляции магнитного поля:
$\oint {\vec {H}}\cdot {\vec {dl}}=I\equiv \int {\vec {j}}\cdot {\vec {dS}}.$
Она же в дифференциальной форме:
$\mathrm {rot} {\vec {H}}={\vec {j}}.$
Сила Лоренца (точно так же, как для вакуума):
${\vec {F}}=q\left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right].$
Сила Ампера (точно так же, как для вакуума):
$d{\vec {F}}=I\left[{\vec {dl}}\times {\vec {B}}\right].$

Примечания

Нелинейность уравнений возникать только для уравнений для среды (о которых написано в отдельном параграфе, в их материальной части, и то в «материальных» уравнениях. Фундаментальные же уравнения (обсуждаемые в этом параграфе) сохраняют точную линейность практически всегда.
Здесь записаны в гауссовой системе единиц, для вакуума (пояснения последнего — см. в разделе Уравнения магнитостатики в среде).
Дело в том, что «уравнения для вакуума» сами по себе вполне справедливы и для поля в магнитной среде (коротко говоря — хотя бы потому, что среда и состоит из частиц, находящихся в вакууме), однако для того, чтобы их применить, нужно иметь в виду при их записи все токи (включая микроскопические токи, обусловленные магнитной поляризацией среды, в том числе молекулярные токи и даже токи, соответствующие магнитным моментам отдельных элементарных элементарных частиц), причем отчасти эти токи зачастую обусловлены довольно нетривиальными свойствами среды, не сводящимися к собственно электромагнетизму. В этом смысле «уравнения для среды» — заметно удобнее, так как, являясь феноменологическими уравнениями, включают то, что касается поляризации среды в уже достаточно компактном виде. С другой стороны, уравнения для среды в частном случае, а именно в случае нулевой магнитной восприимчивости среды, каковой обладает вакуум (в нём отсутствует вещество, способное поляризоваться), переходят в уравнения для вакуума (ведь вакуум — это частный случай среды: среда с отсутствием магнетиков), то есть оказываются применимыми и для него. Хотя при этом, конечно, название уравнения для среды вполне оправдано, так как для описания поля в вакууме они избыточны.
До той степени, до какой они не ограничиваются квантовыми поправками; впрочем, для обычных магнетиков вмешательство квантовой теории в итоге довольно невелико, и часто можно для среды эффективно пользоваться достаточно простыми чисто классическими моделями.
Например, для решения каких-то частных простых задач стандартный подход в полном виде может быть несколько избыточным; впрочем, и тогда часто разумно просто воспользоваться какими-то более простыми формулами, являющимися его следствиями.
И используемым не только в магнитостатике, но и в электродинамике в целом; там, правда, используется ещё одна вспомогательная величина, вводимая по очень сходной логике для электрического поля.
В электродинамике в общем случае это труднее, прежде всего, по той причине, что поведение среды в поле, зависящем от времени, в принципе, гораздо сложнее, чем в постоянном поле.
Иногда такую линейность можно использовать в качестве более или менее грубого приближения, но достаточно часто — и в качестве очень точного.
${\vec {B}}=\mu {\vec {H}}$

в СГС.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Нелинейность уравнений возникать только для уравнений для среды (о которых написано в отдельном параграфе, в их материальной части, и то в «материальных» уравнениях. Фундаментальные же уравнения (обсуждаемые в этом параграфе) сохраняют точную линейность практически всегда.

[2] Здесь записаны в гауссовой системе единиц, для вакуума (пояснения последнего — см. в разделе Уравнения магнитостатики в среде).

[3] Дело в том, что «уравнения для вакуума» сами по себе вполне справедливы и для поля в магнитной среде (коротко говоря — хотя бы потому, что среда и состоит из частиц, находящихся в вакууме), однако для того, чтобы их применить, нужно иметь в виду при их записи все токи (включая микроскопические токи, обусловленные магнитной поляризацией среды, в том числе молекулярные токи и даже токи, соответствующие магнитным моментам отдельных элементарных элементарных частиц), причем отчасти эти токи зачастую обусловлены довольно нетривиальными свойствами среды, не сводящимися к собственно электромагнетизму. В этом смысле «уравнения для среды» — заметно удобнее, так как, являясь феноменологическими уравнениями, включают то, что касается поляризации среды в уже достаточно компактном виде. С другой стороны, уравнения для среды в частном случае, а именно в случае нулевой магнитной восприимчивости среды, каковой обладает вакуум (в нём отсутствует вещество, способное поляризоваться), переходят в уравнения для вакуума (ведь вакуум — это частный случай среды: среда с отсутствием магнетиков), то есть оказываются применимыми и для него. Хотя при этом, конечно, название уравнения для среды вполне оправдано, так как для описания поля в вакууме они избыточны.

[4] До той степени, до какой они не ограничиваются квантовыми поправками; впрочем, для обычных магнетиков вмешательство квантовой теории в итоге довольно невелико, и часто можно для среды эффективно пользоваться достаточно простыми чисто классическими моделями.

[5] Например, для решения каких-то частных простых задач стандартный подход в полном виде может быть несколько избыточным; впрочем, и тогда часто разумно просто воспользоваться какими-то более простыми формулами, являющимися его следствиями.

[6] И используемым не только в магнитостатике, но и в электродинамике в целом; там, правда, используется ещё одна вспомогательная величина, вводимая по очень сходной логике для электрического поля.

[7] В электродинамике в общем случае это труднее, прежде всего, по той причине, что поведение среды в поле, зависящем от времени, в принципе, гораздо сложнее, чем в постоянном поле.

[8] Иногда такую линейность можно использовать в качестве более или менее грубого приближения, но достаточно часто — и в качестве очень точного.

[9] ${\vec {B}}=\mu {\vec {H}}$

в СГС.

Разделы электродинамики
Электростатика и Электродинамика Магнитостатика и Магнитодинамика Релятивистская электродинамика Квантовая электродинамика
Электродинамика сплошных сред	Магнитогидродинамика Электрогидродинамика