Сила Лоренца

Си́ла Ло́ренца — сила, с которой электромагнитное поле, согласно классической (неквантовой) электродинамике[1], действует на точечную заряженную частицу[2][3]. Иногда силой Лоренца называют силу, действующую на движущийся со скоростью $\mathbf {v}$ заряд $q\$ лишь со стороны магнитного поля, нередко же полную силу — со стороны электромагнитного поля вообще[4], иначе говоря, со стороны электрического $\mathbf {E}$ и магнитного $\mathbf {B}$ полей. В Международной системе единиц (СИ) выражается как[5][2]:

$\mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +[\mathbf {v} \times \mathbf {B} ]\right).$

Сила Лоренца, действующая на быстро движущиеся заряженные частицы в пузырьковой камере, приводит к появлению траекторий положительного и отрицательного заряда, которые изгибаются в противоположных направлениях.

Говорится, что электромагнитная сила, действующая на заряд q, представляет собой комбинацию силы, действующей в направлении электрического поля E, пропорциональной величине поля и количеству заряда, и силы, действующей под прямым углом к магнитному полю B и скорости v, пропорциональной величине магнитного поля, заряду и скорости. Вариации этой базовой формулы описывают магнитную силу, действующую на проводник с током (иногда называемую силой Лапласа), электродвижущую силу в проволочной петле, движущейся через область с магнитным полем (закон индукции Фарадея), и силу, действующую на движущиеся заряженные частицы.

Историки науки предполагают, что этот закон подразумевался в статье Джеймса Клерка Максвелла, опубликованной в 1865 году[6]. Хендрик Лоренц привёл полный вывод этой формулы в 1895 г.[7], определив вклад электрической силы через несколько лет после того, как Оливер Хевисайд правильно определил вклад магнитной силы[8][9].

Для силы Лоренца, так же как и для сил инерции, третий закон Ньютона не выполняется. Лишь переформулировав этот закон Ньютона как закон сохранения импульса в замкнутой системе из частиц и электромагнитного поля, можно восстановить его справедливость для сил Лоренца[10].

Сила Лоренца как определение E и B

Во многих учебниках по электромагнетизму силу Лоренца используют в качестве определения электрического и магнитного полей E и B[11][12][13]. В частности, сила Лоренца понимается как следующее эмпирическое утверждение:

Электромагнитная сила F, действующая на пробный заряд в данной точке и момент времени, является определённой функцией его заряда q и скорости v, которая может быть параметризована ровно двумя векторами E и B в функциональной форме :

\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )

Это выражение верно даже для частиц, приближающихся к скорости света (то есть величина v = | v | ≈ c).[14] Таким образом, два векторных поля E и B определяются во всем пространстве и времени, и они называются «электрическим полем» и «магнитным полем». Поля определены повсюду в пространстве и времени относительно силы, которую испытывает пробный заряд, помещённый в электромагнитное поле.

Как определение E и B, сила Лоренца является только определением в принципе, потому что реальная частица (в отличие от гипотетического «пробного заряда» бесконечно малой массы и заряда) будет генерировать свои собственные конечные поля E и B, которые изменят электромагнитную силу, которую он испытывает. Вдобавок, если заряд испытывает ускорение, как если бы его заставляли двигаться по кривой траектории, он испускает излучение и теряет кинетическую энергию. Смотрите например, тормозное излучение и синхротронный излучение. Эти эффекты возникают как за счет прямого воздействия (так называемой силы реакции излучения), так и косвенного (путем воздействия на движение близлежащих зарядов и токов).

Уравнение

Заряженная частица

Сила Лоренца F действующая на движущуюся заряженную частицу (с зарядом q и мгновенной скоростью v). Поле E и поле B изменяются в пространстве и времени.

Сила F, действующая на частицу с электрическим зарядом q и мгновенной скоростью v из-за внешнего электрического поля E и магнитного поля B, определяется выражением (в единицах СИ):[15]

$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$

где знак × обозначает векторное произведение (все величины, выделенные жирным шрифтом, являются векторами). В декартовых компонентах

F_{x}=q(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}),

F_{y}=q(E_{y}+v_{z}B_{x}-v_{x}B_{z}),

F_{z}=q(E_{z}+v_{x}B_{y}-v_{y}B_{x}).

В общем случае, электрическое и магнитное поля зависят от координат и времени. Следовательно, в явном виде силу Лоренца можно записать как

\mathbf {F} \left(\mathbf {r} ,\mathbf {\dot {r}} ,t,q\right)=q\left[\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\right]

где r — вектор положения заряженной частицы, t — время, а точка обозначает производная по времени.

Положительно заряженная частица будет ускоряться в том же направлении, что и поле E, но её траектория будет изгибаться перпендикулярно как вектору мгновенной скорости v, так и полю B в соответствии с правилом буравчика (подробно, если пальцы правой руки вытянуты так, чтобы указывать в направлении v, а затем изгибаются так, чтобы указывать в направлении B, тогда вытянутый большой палец будет указывать в направлении F).

Член q E называется электрической силой, а член q (v × B) — магнитной силой .[16] Согласно некоторым определениям, термин «сила Лоренца» относится конкретно к формуле для магнитной силы[17] а формуле с общей электромагнитной силой (включая электрическую силу), дано другое название. В дальнейшем термин «сила Лоренца» будет относиться к выражению для полной силы.

Магнитная составляющая силы Лоренца проявляется как сила, действующая на проводник с током помещённый в магнитном поле. В этом контексте эта сила также называется силой Лапласа .

Сила Лоренца — это сила, которую оказывает электромагнитное поле на заряженную частицу, или. другими словами, скорость, с которой передаётся линейный импульс от электромагнитного поля частице. С ним связана мощность, которая представляет собой скорость, с которой энергия передаётся от электромагнитного поля частице. Эта мощность

\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} =q\,\mathbf {v} \cdot \mathbf {E}

.

Магнитное поле не совершает работы, потому что магнитная сила всегда перпендикулярна скорости частицы.

Непрерывное распределение заряда

Сила Лоренца (на единицу 3-х мерного объёма) f действующая на непрерывное распределение заряда (плотность заряда ρ) в движении. 3-хмерного плотность тока J соответствует движению элемента заряда dq в элементе объёма dV и изменяется по всему пространству.

Для непрерывного распределения заряда находящегося в движении уравнение для силы Лоренца принимает дифференциальный вид:

\mathrm {d} \mathbf {F} =\mathrm {d} q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,\!

где $\mathrm {d} \mathbf {F}$ — сила, действующая на небольшой элемент объёма с зарядом $\mathrm {d} q$ . Если обе части этого уравнения разделить на объём этого небольшого фрагмента распределения заряда $\mathrm {d} V$ , то получится выражение

\mathbf {f} =\rho \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,\!

где $\mathbf {f}$ — плотность силы (сила на единицу объёма) и $\rho$ — плотность заряда (заряд на единицу объёма). Далее, плотность тока, соответствующая движению заряда, равна

\mathbf {J} =\rho \mathbf {v} \,\!

так что непрерывным аналогом уравнения для силы Лоренца является выражение[18]

$\mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \,\!$

К полной силе можно прийти вычислив объемный интеграл по распределению заряда:

\mathbf {F} =\iiint \!(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\,\mathrm {d} V.\,\!

Устраняя $\rho$ и $\mathbf {J}$ , используя уравнения Максвелла с помощью теорем векторного исчисления, эту форму уравнения можно использовать для вывода тензора напряжений Максвелла ${\boldsymbol {\sigma }}$ , и комбинируя с вектором Пойнтинга $\mathbf {S}$ — получить тензор T энергии-импульса электромагнитного поля, используемого в общей теории относительности .[18]

В терминах ${\boldsymbol {\sigma }}$ и $\mathbf {S}$ , можно записать силу Лоренца (на единицу объёма) в виде[18]

\mathbf {f} =\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}-{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}\,\!

где $c$ — скорость света, ∇ · обозначает дивергенцию тензорного поля. Это уравнение связывает не количество заряда и его скорость в электрическом и магнитном полях, а поток энергии (поток энергии в единицу времени на единицу расстояния) в полях с силой, действующей на распределение заряда.

Плотность мощности, связанная с силой Лоренца в материальной среде, равна

\mathbf {J} \cdot \mathbf {E}

.

Если разделить полный заряд и полный ток на их свободную и связанную части, получится, что плотность силы Лоренца равная

\mathbf {f} =(\rho _{f}-\nabla \cdot \mathbf {P} )\mathbf {E} +(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}})\times \mathbf {B}

.

где $\rho _{f}$ — плотность свободного заряда; $\mathbf {P}$ — поляризация ; $\mathbf {J} _{f}$ — плотность тока свободных зарядов; и $\mathbf {M}$ — намагниченность. Таким образом, сила Лоренца может объяснить крутящий момент, приложенный к постоянному магниту из-за внешнего магнитного поля.

Уравнение в единицах СГС

В приведённых выше формулах используются единицы СИ, которые являются наиболее распространёнными среди экспериментаторов, техников и инженеров. В системе СГС, которая более распространена среди физиков-теоретиков, сила Лоренца примет вид

\mathbf {F} =q_{\mathrm {cgs} }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {cgs} }+{\frac {\mathbf {v} }{c}}\times \mathbf {B} _{\mathrm {cgs} }\right).

где c — скорость света . Хотя это уравнение выглядит несколько иначе, оно полностью эквивалентно, поскольку новые виличины связаны в двух системах единиц соотнишениями

q_{\mathrm {cgs} }={\frac {q_{\mathrm {SI} }}{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}}}},\quad \mathbf {E} _{\mathrm {cgs} }={\sqrt {4\pi \epsilon _{0}}}\,\mathbf {E} _{\mathrm {SI} },\quad \mathbf {B} _{\mathrm {cgs} }={\sqrt {4\pi /\mu _{0}}}\,{\mathbf {B} _{\mathrm {SI} }},\quad c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}.

где ε ₀ — диэлектрическая проницаемость вакуума, а μ ₀ — магнитная проницаемость вакуума. На практике индексы «cgs» и «SI» всегда опускаются, и система единиц измерения должна быть понятна из контекста.

Частные случаи

Направление движения частицы в зависимости от её заряда при векторе магнитной индукции, перпендикулярном вектору скорости (к нам из плоскости рисунка, перпендикулярно ей)

В однородном магнитном поле, направленном перпендикулярно вектору скорости, под действием силы Лоренца заряженная частица будет равномерно двигаться по окружности постоянного радиуса $r$ (называемого также гирорадиусом). Сила Лоренца в этом случае является центростремительной силой:

СГС	СИ
${mv^{2} \over r}={\|q\| \over c}vB\Rightarrow r={cm \over \|q\|}\cdot {v \over B}$	${mv^{2} \over r}=\|q\|vB\Rightarrow r={m \over \|q\|}\cdot {v \over B}$

Работа силы Лоренца будет равна нулю, поскольку векторы силы и скорости всегда ортогональны. При скорости $v\$ , намного меньшей скорости света, круговая частота $\omega \$ не зависит от $v\$ :

СГС	СИ
$\omega ={\|q\|B \over mc}$	$\omega ={\|q\|B \over m}$

Если заряженная частица движется в магнитном поле так, что вектор скорости $v\$ составляет с вектором магнитной индукции $\mathbf {B}$ угол $\alpha \$ , то траекторией движения частицы является винтовая линия с радиусом $r\$ и шагом винта $h\$ :

СГС	СИ
$r={mc \over \|q\|}\cdot {v\sin \alpha \over B}$ , $h={2\pi \over B}\cdot {mc \over \|q\|}\cdot v\cos \alpha$	$r={m \over \|q\|}\cdot {v\sin \alpha \over B}$ , $h={2\pi \over B}\cdot {m \over \|q\|}\cdot v\cos \alpha$

История

Теория электронов Лоренца. Формулы для силы Лоренца (I, пондеромоторная сила) и уравнения Максвелла для дивергенции электрического поля E (II) и магнитного поля B (III), La théorie electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants, 1892, p . 451. V — скорость света.

Первые попытки количественного описания электромагнитной силы были предприняты в середине 18 века. Предполагалось Иоганн Тобиас Майер и другие в 1760 году[19] предполагали, что сила на магнитных полюсах как и электрически заряженные объекты, что установил Генри Кавендиш в 1762 году[20], подчиняются закону обратных квадратов. Однако в обоих случаях экспериментальное доказательство не было ни полным, ни окончательным. Только в 1784 году Шарль-Огюстен де Кулон, используя торсионные весы, смог окончательно экспериментально показать, что это правда.[21] Вскоре после открытия в 1820 году Хансом Кристианом Эрстедом того факта, что на магнитную стрелку действует электрический ток, Андре-Мари Ампер в том же году смог экспериментально получить формулу угловой зависимости силы между двумя элементами тока.[22][23] Во всех этих описаниях сила всегда описывалась в терминах свойств вещества и расстояний между двумя массами или зарядами, а не в терминах электрических и магнитных полей.[24]

Современная концепция электрических и магнитных полей впервые возникла в теориях Майкла Фарадея, особенно удачной оказалась его идея силовых линий, которая позже получила полное математическое описание лордом Кельвином и Джеймсом Клерком Максвеллом.[25] С современной точки зрения, в формулировке Максвелла 1865 г. его уравнений для электромагнитного поля можно получить уравнение для силы Лоренца по отношению к электрическим токам[6], хотя во времена Максвелла не было очевидно, как его уравнения связаны с силами при перемещении заряженных предметов. Дж. Дж. Томсон был первым, кто попытался вывести из уравнений Максвелла поля электромагнитные силы, действующие на движущийся заряженный объект, в терминах свойств объекта и внешних полей. Заинтересовавшийся поведением заряженных частиц в катодных лучах, Томсон опубликовал статью в 1881 году, в которой он дал определение силы, действующей на частицы, обусловленную внешним магнитным полем, в виде[8]

\mathbf {F} ={\frac {q}{2}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} .

Томсон вывел правильную основную форму формулы, но из-за некоторых ошибок и неполного описания тока смещения перед формулой включил неверный масштабный коэффициент, равный половине. Оливер Хевисайд изобрел современные векторные обозначения и переписал в их терминах полевые уравнения Максвелла; он также (в 1885 и 1889 годах) исправил ошибки вывода Томсона и пришел к правильному виду для магнитной силы действующей на движущуюся заряженную частицу.[8][25][26] Наконец, в 1895 году[7][27] Хендрик Лоренц пришёл к современному виду формулы для электромагнитной силы, которая включает вклады как электрического, так и магнитного полей. Лоренц вначале отказался от максвелловского описания эфира и проводимости. Вместо этого Лоренц указал на различия между материей и светоносным эфиром и записал уравнения Максвелла в микроскопическом масштабе. Используя версию уравнений Максвелла Хевисайда для неподвижного эфира и, применяя лагранжевую механику (см. Ниже), Лоренц пришел к правильной и полной форме закона для электромагнитной силы, который теперь носит его имя.[25][28]

Траектории частиц под действием силы Лоренца

Заряженная частица дрейфует в однородном магнитном поле. (A) Нет возмущающей силы (B) В электрическом поле, E (C) С независимой силой, F (например, гравитация) (D) В неоднородном магнитном поле, grad H

Во многих случаях, представляющих практический интерес, движение в магнитном поле электрически заряженной частицы (например, электрона или иона в плазме) можно рассматривать как суперпозицию относительно быстрого кругового движения вокруг точки, которая дрейфует в направлении перпендикулярном электрическому и магнитным полям. Скорости дрейфа могут различаться в зависимости от их зарядового состояния, массы или температуры, что может привести к электрическим токам или химическому разделению.

Значение силы Лоренца

В то время как современные уравнения Максвелла описывают то, как электрически заряженные частицы и токи или движущиеся заряженные частицы вызывают электрические и магнитные поля, сила Лоренца дополняет эту картину, описывая силу, действующую на движущийся точечный заряд q в присутствии электромагнитных полей.[15][29] Хотя сила Лоренца описывает действие E и B на точечный заряд, но такие электромагнитные силы не являются всей картиной. Заряженные частицы, возможно, связаны с другими силами, особенно с гравитацией и ядерными силами. Таким образом, уравнения Максвелла не отделены от других физических законов, а связаны с ними через плотности заряда и тока. Реакция точечного заряда на закон Лоренца — это один из аспектов; генерация E и B токами и зарядами — другое.

В реальных материалах сила Лоренца неадекватно описывает коллективное поведение заряженных частиц как в принципе, так и с точки зрения вычислений. Заряженные частицы в материальной среде не только реагируют на поля E и B, но и создают эти поля сами. Для определения временной и пространственной реакции зарядов необходимо решать сложные уравнения переноса, например, уравнение Больцмана, уравнение Фоккера — Планка или уравнения Навье — Стокса . Например, см. Магнитогидродинамику, гидродинамику, электрогидродинамику, сверхпроводимость, звездную эволюцию . Разработан целый физический аппарат для решения этих вопросов. См., Например, формулы Грина — Кубо и функцию Грина (теория многих тел) .

Сила на токоведущем проводе

Правило правой руки для токоведущего провода в магнитном поле B

Когда провод, по которому течёт электрический ток, помещается в магнитное поле, каждый из движущихся зарядов, составляющих ток, испытывает силу Лоренца, и вместе они могут создавать макроскопическую силу действующую на проводе (иногда называемую силой Лапласа). Комбинируя приведённый выше закон Лоренца с определением электрического тока, в случае прямого неподвижного провода получается следующее уравнение:[30]

\mathbf {F} =I{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B}

где ℓ — вектор, величина которого равна длине провода, а направление — вдоль провода, совмещённое с направлением обычного тока I.

Если провод не прямой, а изогнутый, то силу, действующую на него, вычисляют, применив данную формулу к каждому бесконечно малому отрезку провода dℓ, а затем сложив все эти силы путем интегрирования . Формально результирующая сила, действующая на неподвижный жёсткий провод, по которому течет постоянный ток I равна

\mathbf {F} =I\int \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B}

Это полная сила. Кроме того, обычно возникает крутящий момент и другие эффекты, если проволока не совсем жёсткая.

Одним из применений этого является закон силы Ампера, который описывает, как два токоведущих провода притягиваться или отталкиваться друг от друга, в зависимости от направления тока, поскольку каждый из них испытывает силу Лоренца от магнитного поля создаваемого другим током.

ЭДС

Магнитная сила (qv × B) в выражении силы Лоренца отвечает за двигательную электродвижущую силу (или двигательную ЭДС), явление, лежащее в основе действия многих электрических генераторов. Когда проводник перемещается через область магнитного поля, магнитное поле оказывает противоположно направленные силы на электроны и ядра в проводе, и это создает ЭДС. Термин «двигательная ЭДС» применяется к этому явлению, поскольку ЭДС возникает из-за движения провода.

В других электрических генераторах магниты движутся, а проводники — нет. В этом случае ЭДС возникает из-за электрической силы (q E) в уравнении для силы Лоренца. Рассматриваемое электрическое поле создается изменяющимся магнитным полем, приводящим к возникновению индуцированной ЭДС, как описано уравнением Максвелла — Фарадея.[31]

Обе эти ЭДС, несмотря на их явно различное происхождение, описываются одним и тем же уравнением, а именно ЭДС — это скорость изменения магнитного потока через провод. Это закон электромагнитной индукции Фарадея, см. Ниже . Специальная теория относительности Эйнштейна была частично мотивирована желанием лучше понять эту связь между двумя эффектами.[31] Фактически, электрическое и магнитное поля представляют собой разные грани единого электромагнитного поля, и при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой часть электромагнитного векторного поля E можно полностью или частично заменить на B или наоборот .[32]

Сила Лоренца и закон индукции Фарадея

Сила Лоренца — изображение на стене в Лейдене

Для петли из провода находящуюся в магнитном поле, закон индукции Фарадея утверждает, что наведённая электродвижущая сила (ЭДС) в проводе равна:

{\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}

где

\Phi _{B}=\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)

— магнитный поток через петлю, B — магнитное поле, Σ (t) — поверхность, ограниченная замкнутым контуром ∂Σ (t), в момент времени t, dA — бесконечно малый элемент вектора площади Σ (t) (величина — это площадь бесконечно малого участка поверхности, направление вектора ортогонально этому участку поверхности).

Знак ЭДС определяется законом Ленца. Это справедливо не только для стационарного провода, но и для движущейся проволоки.

Из закона электромагнитной индукции Фарадея и уравнений Максвелла можно получить силу Лоренца. Верно и обратное: силу Лоренца и уравнения Максвелла можно использовать для вывода закона Фарадея.

Пусть Σ (t) — движущийся поступательно провод с постоянной скоростью v, а Σ (t) — внутренняя поверхность провода. ЭДС вокруг замкнутого пути ∂Σ (t) определяется выражением[33]

{\mathcal {E}}=\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q

где

\mathbf {E} =\mathbf {F} /q

— электрическое поле, а d ℓ — бесконечно малый векторный элемент контура ∂Σ (t).

Направление dℓ, и dA неоднозначно. Чтобы получить правильный знак, используется правило правой руки, как описано в статье Теорема Кельвина — Стокса .

Приведенный выше результат можно сравнить с законом электромагнитной индукции Фарадея, который появляется в современных уравнениях Максвелла, называемый здесь уравнением Максвелла — Фарадея :

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\ .

Уравнение Максвелла — Фарадея можно записать в интегральной форме с помощью теоремы Кельвина — Стокса .[34]

Уравнение Максвелла — Фарадея принимает вид

\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)=-\ \iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {{\mathrm {d} \,\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)} \over \mathrm {d} t}

и закон Фарадея,

\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t).

Эти два выражения эквивалентны, если провод не движется. Используя интегральное правило Лейбница и div B = 0, можно получить,

\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,t)=-\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}

и, используя уравнение Максвелла Фарадея,

\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)\,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}

поскольку это справедливо для любого положения провода, то

\mathbf {F} =q\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t).

Закон индукции Фарадея справедлив независимо от того, является ли проволочная петля жесткой и неподвижной, либо она находится в движении, либо в процессе деформации, а также независимо от того, является ли магнитное поле постоянным во времени или изменяющимся. Однако бывают случаи, когда закон Фарадея либо неадекватен, либо его трудно использовать, и необходимо применять закон Лоренца.

Если магнитное поле не зависит от времени и проводящая петля движется через поле, магнитный поток Φ _B, проникающий в петлю, может изменяться несколькими способами. Например, если магнитное поле меняется в зависимости от положения, и петля перемещается в другое положение с другим значением B, — Φ_B изменится. В качестве альтернативы, если петля изменяет ориентацию по отношению к B, то дифференциальный элемент B ⋅ dA будет меняться из-за различного угла между B и dA, также изменится Ф _B. В качестве третьего примера, если часть электрической схемы проходит через однородное, не зависящее от времени магнитное поле, а другая часть схемы остаётся неподвижной, то магнитный поток, связывающий всю замкнутую цепь, может измениться из-за относительного смещения положения составных частей схемы с течением времени (поверхность ∂Σ (t), зависящая от времени). Во всех трех случаях закон индукции Фарадея предсказывает появление ЭДС, порождённую изменением Φ_B.

Из уравнения Максвелла — Фарадея следует, что если магнитное поле B изменяется во времени, то электрическое поле E неконсервативно, и не может быть выражено как градиент скалярного поля, поскольку его ротор не равен нулю.[35][36]

Сила Лоренца в терминах потенциалов

Поля E и B можно заменить векторным магнитным потенциалом A и (скалярным) электростатическим потенциалом ϕ посредством

\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}

\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

где ∇ — градиент, ∇⋅ — дивергенция, ∇ × — ротор .

Сила запишется в виде

\mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right].

Используя тождество для тройного произведения, это выражение можно переписать как,

$\mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\nabla \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)-\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \right],$

Здесь координаты и компоненты скорости следует рассматривать как независимые переменные, поэтому оператор набла действует только на $\mathbf {A}$ , а не на $\mathbf {v}$ ; таким образом, нет необходимости использовать обозначение индексов Фейнмана в приведенном уравнении. Используя цепное правило, полная производная от $\mathbf {A}$ является:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A}

так что приведенное выше выражение принимает вид

\mathbf {F} =q\left[-\nabla (\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\right]

.

При v = ẋ уравнение можно переписать в удобной форме Эйлера — Лагранжа

$\mathbf {F} =q\left[-\nabla _{\mathbf {x} }(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\nabla _{\dot {\mathbf {x} }}(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )\right]$

где введены обозначения

$\nabla _{\mathbf {x} }={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial z}}$

и

$\nabla _{\dot {\mathbf {x} }}={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {x}}}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {y}}}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {z}}}}$ .

Сила Лоренца и аналитическая механика

Лагранжиан для заряженной частицы с массой m и зарядом q в электромагнитном поле описывает динамику частицы с точки зрения её энергии, а не силы, действующей на неё. Классическое выражение задается следующим образом:[37]

L={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -q\phi

где A и ϕ — потенциальные поля, как указано выше. Величину $V=q(\phi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} )$ можно рассматривать как потенциальную функцию, зависящую от скорости.[38] Используя уравнения Лагранжа, можно снова получить уравнение для силы Лоренца, приведенное выше.

Вывод силы Лоренца из классического Лангранжана (единицы СИ)

В поле A, частица двигающаяся со скоростью v = ṙ обладает импульсом

q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)

, тогда её потенциальная энергия равна

q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {\dot {r}}

. В поле ϕ, потенциальная энергия частицы равна

q\phi (\mathbf {r} ,t)

.

Полная потенциальная энергия записывается в виде

V=q\phi -q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}}

и кинетическая энергия:

T={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}}

Отсюда Лагранжан:

L=T-V={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -q\phi

L={\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})+q({\dot {x}}A_{x}+{\dot {y}}A_{y}+{\dot {z}}A_{z})-q\phi

Уравнения Лагранжа

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial L}{\partial x}}

(аналогично для y и z компонент). Вычисление частных производных приводит к

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}&=m{\ddot {x}}+q{\frac {\mathrm {d} A_{x}}{\mathrm {d} t}}\\&=m{\ddot {x}}+{\frac {q}{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}dt+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}dx+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}dy+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}dz\right)\\&=m{\ddot {x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}{\dot {z}}\right)\\\end{aligned}}

{\frac {\partial L}{\partial x}}=-q{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}{\dot {z}}\right)

уравнивая и упрощая выражение

m{\ddot {x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}{\dot {z}}\right)=-q{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}{\dot {z}}\right)

{\begin{aligned}F_{x}&=-q\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}\right)+q\left[{\dot {y}}\left({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)+{\dot {z}}\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)\right]\\&=qE_{x}+q[{\dot {y}}(\nabla \times \mathbf {A} )_{z}-{\dot {z}}(\nabla \times \mathbf {A} )_{y}]\\&=qE_{x}+q[\mathbf {\dot {r}} \times (\nabla \times \mathbf {A} )]_{x}\\&=qE_{x}+q(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {B} )_{x}\end{aligned}}

и аналогично для y и z компонент. Уравнение для силы

\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {B} )

Потенциальная энергия зависит от скорости частицы, поэтому сила зависит от скорости, и соответственно она не является консервативной.

Релятивистский лагранжиан

L=-mc^{2}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}+q\mathbf {A} (\mathbf {r} )\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q\phi (\mathbf {r} )\,\!

Действие — это релятивистская длина пути частицы в пространстве-времени, за вычетом вклада потенциальной энергии, плюс дополнительный вклад, который квантово-механически является дополнительной фазой, которую получает заряженная частица, когда она движется вдоль векторного потенциала.

Вывод силы Лоренца для релятивистского Лагранжиана (единицы СИ)

Уравнения движения получающиеся из вариационного принципа для действия

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {P} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}=q{\partial \mathbf {A}  \over \partial \mathbf {r} }\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q{\partial \phi  \over \partial \mathbf {r} }\,\!

\mathbf {P} -q\mathbf {A} ={\frac {m{\dot {\mathbf {r} }}}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}}\,

соответствуют уравнениям движения Гамильтона:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\left({\sqrt {(\mathbf {P} -q\mathbf {A} )^{2}+(mc^{2})^{2}}}+q\phi \right)\,\!

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=-{\partial  \over \partial \mathbf {r} }\left({\sqrt {(\mathbf {P} -q\mathbf {A} )^{2}+(mc^{2})^{2}}}+q\phi \right)\,\!

которые эквиваленты следующему выражению в неканонической форме

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({m{\dot {\mathbf {r} }} \over {\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}}\right)=q\left(\mathbf {E} +{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {B} \right).\,\!

Это выражение описывает силу Лоренца, — скорость с которой электромагнитное поле передаёт релятивистский импульс частице.

Релятивистская форма силы Лоренца

Тензор поля

Используя сигнатуру метрики (1, −1, −1, −1), сила Лоренца для заряда q может быть записана в[39] ковариантной форме :

${\frac {\mathrm {d} p^{\alpha }}{\mathrm {d} \tau }}=qF^{\alpha \beta }U_{\beta }$

где p ^α — четырехмерный импульс, определяемый как

p^{\alpha }=\left(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right)=\left(\gamma mc,p_{x},p_{y},p_{z}\right)\,,

τ собственное время частицы, F ^αβ — контравариантный тензор электромагнитного поля

F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}

и U — ковариантная 4-скорость частицы, определяемая как:

U_{\beta }=\left(U_{0},U_{1},U_{2},U_{3}\right)=\gamma \left(c,-v_{x},-v_{y},-v_{z}\right)\,,

где Лоренц-фактор

\gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}{c^{2}}}}}}

Поля преобразуются в систему, движущуюся относительной неподвижно системы с постоянной скоростью, с помощью:

F'^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }F^{\alpha \beta }\,,

где Λ ^μ _α — тензор преобразования Лоренца.

Перевод в векторные обозначения

Компонента α = 1 (x -компонента) силы равна

{\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=qU_{\beta }F^{1\beta }=q\left(U_{0}F^{10}+U_{1}F^{11}+U_{2}F^{12}+U_{3}F^{13}\right).

Подставляя компоненты ковариантного тензора электромагнитного поля F, получаем

{\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=q\left[U_{0}\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+U_{2}(-B_{z})+U_{3}(B_{y})\right].

Используя компоненты ковариантных четырёхскоростей

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}&=q\gamma \left[c\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+(-v_{y})(-B_{z})+(-v_{z})(B_{y})\right]\\&=q\gamma \left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)\\&=q\gamma \left[E_{x}+\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)_{x}\right]\,.\end{aligned}}

Расчет для α = 2, 3 (компоненты силы в направлениях y и z) приводит к аналогичным результатам, поэтому объединение 3 уравнений в одно:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} \tau }}=q\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,,

и поскольку дифференциалы по координатному времени dt и собственному времени dτ связаны между собой Лоренц-фактором,

dt=\gamma (v)d\tau \,,

в итоге можно записать

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,.

Это в точности закон Лоренца, однако p — это релятивистское выражение,

\mathbf {p} =\gamma (v)m_{0}\mathbf {v} \,.

Сила Лоренца в алгебре пространства-времени (STA)

^{[проверить перевод!]} Электрическое и магнитное поля зависят от скорости наблюдателя, поэтому релятивистскую форму закона Лоренца лучше всего можно продемонстрировать, исходя из не зависящего от координат выражения для электромагнитного и магнитного полей. ${\mathcal {F}}$ , и произвольное направление времени, $\gamma _{0}$ . С помощью алгебры пространства-времени (или геометрической алгебры пространства-времени), типа алгебры Клиффорда, определённой в псевдоевклидовом пространстве[40] запишутся

\mathbf {E} =({\mathcal {F}}\cdot \gamma _{0})\gamma _{0}

и

i\mathbf {B} =({\mathcal {F}}\wedge \gamma _{0})\gamma _{0}

${\mathcal {F}}$ представляет собой бивектор пространства-времени (ориентированный плоский сегмент, по аналогии с вектором, который является ориентированным линейным сегментом), который имеет шесть степеней свободы, соответствующих бустам (вращения в плоскостях пространства-времени) и вращениям (вращениям в плоскостях пространства-пространства). Скалярное произведение с вектором $\gamma _{0}$ вытягивает вектор (в пространственной алгебре) из трансляционной части, в то время как внешнее произведение создаёт тривектор (в пространственной алгебре), который двойственен вектору, который является обычным вектором магнитного поля. Релятивистская скорость задаётся (времениподобными) изменениями вектора времени-координаты $v={\dot {x}}$ , где

v^{2}=1,

(что показывает наш выбор метрики), а скорость равна

\mathbf {v} =cv\wedge \gamma _{0}/(v\cdot \gamma _{0}).

Правильная (инвариант — неадекватный термин, потому что никакое преобразование не было определено) форма закона Лоренца

$F=q{\mathcal {F}}\cdot v$

Здесь порядок важен, потому что между бивектором и вектором скалярное произведение антисимметрично. При таком расщеплении пространства-времени можно получить скорость и поля, как указано выше, что дает обычное выражение.

Сила Лоренца в общей теории относительности

В общей теории относительности уравнение движения частицы с массой $m$ и зарядом $e$ , двигающейся в пространстве с метрическим тензором $g_{ab}$ и электромагнитном поле $F_{ab}$ , задаётся как

m{\frac {du_{c}}{ds}}-m{\frac {1}{2}}g_{ab,c}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b}\;,

где $u^{a}=dx^{a}/ds$ ( $dx^{a}$ берется вдоль траектории), $g_{ab,c}=\partial g_{ab}/\partial x^{c}$ , и $ds^{2}=g_{ab}dx^{a}dx^{b}$ .

Уравнение также можно записать как

m{\frac {du_{c}}{ds}}-m\Gamma _{abc}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b}\;,

куда $\Gamma _{abc}$ — символы Кристоффеля (метрическая связность без кручения в общей теории относительности), или как

m{\frac {Du_{c}}{ds}}=eF_{cb}u^{b}\;,

куда $D$ — ковариантный дифференциал в общей теории относительности (метрический, без кручения).

Приложения

Сила Лоренца присутствует во многих устройствах, в том числе:

Эксперимент, показывающий воздействие силы Лоренца на заряженные частицы

Пучок электронов, движущихся по круговой траектории под воздействием магнитного поля. Свечение вызвано возбуждением атомов остаточного газа в баллоне

Основным применением силы Лоренца (точнее, её частного случая — силы Ампера) являются электрические машины (электродвигатели и генераторы). Сила Лоренца широко используется в электронных приборах для воздействия на заряженные частицы (электроны и иногда ионы), например в телевизионных электронно-лучевых трубках, а также в масс-спектрометрии и МГД-генераторах.
Сила Лоренца также используется в ускорителях заряженных частиц: она задаёт орбиту, по которой движутся эти частицы.
Сила Лоренца используется в рельсотроне.
Велосиметрия силой Лоренца заключается в бесконтактном измерении скорости движения проводящей жидкости.
Циклотроны и другие ускорители частиц с круговым движением
Масс-спектрометры
Фильтры скорости
Магнетроны

Примечания

Афанасьев, Г. Н. Старые и новые проблемы в теории эффекта Ааронова — Бома // Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 1990. — Т. 21. — С. 172—250.
Сила Лоренца / В. С. Булыгин // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
М. А. Миллер, Е. В. Суворов. Лоренца сила // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия (т. 1—2); Большая Российская энциклопедия (т. 3—5), 1988—1999. — ISBN 5-85270-034-7.
Такая двойственность применения термина «сила Лоренца», очевидно, объясняется историческими причинами: дело в том, что сила, действующая на точечный заряд со стороны только электрического поля была известна задолго до Лоренца — Закон Кулона был открыт в 1785 году. Лоренц же получил общую формулу для действия и электрического, и магнитного полей, отличающуюся от прежней как раз выражением для магнитного поля. Поэтому то и другое, вполне логично, называют его именем.
H-поле измеряетс в амперах на метр (А/м) в ещиницах SI, и в эрстедах (Эр) в единицах СГС. International system of units (SI) (неопр.). NIST reference on constants, units, and uncertainty. National Institute of Standards and Technology. Дата обращения: 9 мая 2012.
Huray, Paul G. Maxwell's Equations. — Wiley-IEEE, 2010. — P. 22. — ISBN 978-0-470-54276-7.
Per F. Dahl, Flash of the Cathode Rays: A History of J J Thomson’s Electron, CRC Press, 1997, p. 10.
Paul J. Nahin, Oliver Heaviside, JHU Press, 2002.
Болотовский Б. М. Оливер Хевисайд. — Москва: Наука, 1985. — С. 43—44. — 260 с.
Матвеев А. Н. Механика и теория относительности. — 3-е изд. — М. Высшая школа 1976. — С. 132.
See, for example, Jackson, pp. 777-8.
J.A. Wheeler. Gravitation. — W.H. Freeman & Co, 1973. — ISBN 0-7167-0344-0.. These authors use the Lorentz force in tensor form as definer of the electromagnetic tensor F, in turn the fields E and B.
I.S. Grant. Electromagnetism. — John Wiley & Sons, 1990. — P. 122. — ISBN 978-0-471-92712-9.
I.S. Grant. Electromagnetism. — John Wiley & Sons, 1990. — P. 123. — ISBN 978-0-471-92712-9.
See Jackson, page 2. The book lists the four modern Maxwell’s equations, and then states, «Also essential for consideration of charged particle motion is the Lorentz force equation, F = q (E+ v × B), which gives the force acting on a point charge q in the presence of electromagnetic fields.»
See Griffiths, page 204.
For example, see the website of the Lorentz Institute or Griffiths.
Griffiths, David J. Introduction to electrodynamics. — 3rd. — Upper Saddle River, New Jersey [u.a.] : Prentice Hall, 1999. — ISBN 978-0-13-805326-0.
Delon, Michel. Encyclopedia of the Enlightenment. — Fitzroy Dearborn Publishers, 2001. — P. 538. — ISBN 157958246X.
Goodwin, Elliot H. The New Cambridge Modern History Volume 8: The American and French Revolutions, 1763–93. — Cambridge University Press, 1965. — P. 130. — ISBN 9780521045469.
Meyer, Herbert W. A History of Electricity and Magnetism. — Burndy Library, 1972. — P. 30–31. — ISBN 0-262-13070-X.
Verschuur, Gerrit L. Hidden Attraction : The History And Mystery Of Magnetism. — Oxford University Press, 1993. — P. 78–79. — ISBN 0-19-506488-7.
Darrigol Olivier. Electrodynamics from Ampère to Einstein. — Oxford University Press, 2000. — P. 9, 25. — ISBN 0-19-850593-0.
Verschuur, Gerrit L. Hidden Attraction : The History And Mystery Of Magnetism. — Oxford University Press, 1993. — ISBN 0-19-506488-7.
Darrigol, 2000, p. 126–131, 139–144.
Heaviside, Oliver (April 1889). “On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric”. Philosophical Magazine.
Lorentz, Hendrik Antoon, Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern, 1895.
Whittaker E. T. A History of the Theories of Aether and Electricity: From the Age of Descartes to the Close of the Nineteenth Century. — Longmans, Green and Co., 1910. — P. 420–423. — ISBN 1-143-01208-9.
See Griffiths, page 326, which states that Maxwell’s equations, «together with the [Lorentz] force law…summarize the entire theoretical content of classical electrodynamics».
Physics Experiments (англ.). www.physicsexperiment.co.uk. Дата обращения: 14 августа 2018.
See Griffiths, pages 301-3.
Tai L. Chow. Electromagnetic theory. — Sudbury MA : Jones and Bartlett, 2006. — P. 395. — ISBN 0-7637-3827-1.
Landau, L. D., Lifshitz, E. M., & Pitaevskiĭ, L. P. Electrodynamics of continuous media; Volume 8 Course of Theoretical Physics. — Second. — Oxford : Butterworth-Heinemann, 1984. — P. §63 (§49 pp. 205–207 in 1960 edition). — ISBN 0-7506-2634-8.
Roger F. Harrington. Introduction to electromagnetic engineering. — Mineola, New York : Dover Publications, 2003. — P. 56. — ISBN 0-486-43241-6.
M N O Sadiku. Elements of electromagnetics. — Fourth. — NY/Oxford : Oxford University Press, 2007. — P. 391. — ISBN 978-0-19-530048-2.
Landau, 1984, p. §63.
Classical Mechanics (2nd Edition), T.W.B. Kibble, European Physics Series, McGraw Hill (UK), 1973, ISBN 0-07-084018-0.
Lanczos, Cornelius, 1893-1974. The variational principles of mechanics. — Fourth. — New York, January 1986. — ISBN 0-486-65067-7.
Jackson, J.D. Chapter 11
Hestenes. SpaceTime Calculus (неопр.).

Литература

Feynman, Richard Phillips. The Feynman lectures on physics (3 vol.) / Richard Phillips Feynman, Robert B. Leighton, Matthew L. Sands. — Pearson / Addison-Wesley, 2006. — ISBN 0-8053-9047-2.: volume 2.
Griffiths, David J. Introduction to electrodynamics. — Prentice-Hall, 1999. — ISBN 0-13-805326-X.
Jackson, John David. Classical electrodynamics. — Wiley, 1999. — ISBN 0-471-30932-X.
Serway, Raymond A. Physics for scientists and engineers, with modern physics / Raymond A. Serway, John W., Jr. Jewett. — Thomson Brooks/Cole, 2004. — ISBN 0-534-40846-X.
Srednicki, Mark A. Quantum field theory. — Cambridge University Press, 2007. — ISBN 978-0-521-86449-7.

См. также

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Афанасьев, Г. Н. Старые и новые проблемы в теории эффекта Ааронова — Бома // Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 1990. — Т. 21. — С. 172—250.

[Bulygin-2] Сила Лоренца / В. С. Булыгин // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.

[3] М. А. Миллер, Е. В. Суворов. Лоренца сила // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия (т. 1—2); Большая Российская энциклопедия (т. 3—5), 1988—1999. — ISBN 5-85270-034-7.

[4] Такая двойственность применения термина «сила Лоренца», очевидно, объясняется историческими причинами: дело в том, что сила, действующая на точечный заряд со стороны только электрического поля была известна задолго до Лоренца — Закон Кулона был открыт в 1785 году. Лоренц же получил общую формулу для действия и электрического, и магнитного полей, отличающуюся от прежней как раз выражением для магнитного поля. Поэтому то и другое, вполне логично, называют его именем.

[units2-5] H-поле измеряетс в амперах на метр (А/м) в ещиницах SI, и в эрстедах (Эр) в единицах СГС. International system of units (SI) (неопр.). NIST reference on constants, units, and uncertainty. National Institute of Standards and Technology. Дата обращения: 9 мая 2012.

[Huray-6] Huray, Paul G. Maxwell's Equations. — Wiley-IEEE, 2010. — P. 22. — ISBN 978-0-470-54276-7.

[Dahl-7] Per F. Dahl, Flash of the Cathode Rays: A History of J J Thomson’s Electron, CRC Press, 1997, p. 10.

[Nahin-8] Paul J. Nahin, Oliver Heaviside, JHU Press, 2002.

[9] Болотовский Б. М. Оливер Хевисайд. — Москва: Наука, 1985. — С. 43—44. — 260 с.

[10] Матвеев А. Н. Механика и теория относительности. — 3-е изд. — М. Высшая школа 1976. — С. 132.

[Jackson20-11] See, for example, Jackson, pp. 777-8.

[12] J.A. Wheeler. Gravitation. — W.H. Freeman & Co, 1973. — ISBN 0-7167-0344-0.. These authors use the Lorentz force in tensor form as definer of the electromagnetic tensor F, in turn the fields E and B.

[13] I.S. Grant. Electromagnetism. — John Wiley & Sons, 1990. — P. 122. — ISBN 978-0-471-92712-9.

[14] I.S. Grant. Electromagnetism. — John Wiley & Sons, 1990. — P. 123. — ISBN 978-0-471-92712-9.

[Jackson2-15] See Jackson, page 2. The book lists the four modern Maxwell’s equations, and then states, «Also essential for consideration of charged particle motion is the Lorentz force equation, F = q (E+ v × B), which gives the force acting on a point charge q in the presence of electromagnetic fields.»

[Griffiths1-16] See Griffiths, page 204.

[Griffiths2-17] For example, see the website of the Lorentz Institute or Griffiths.

[Electrodynamics_1999-18] Griffiths, David J. Introduction to electrodynamics. — 3rd. — Upper Saddle River, New Jersey [u.a.] : Prentice Hall, 1999. — ISBN 978-0-13-805326-0.

[19] Delon, Michel. Encyclopedia of the Enlightenment. — Fitzroy Dearborn Publishers, 2001. — P. 538. — ISBN 157958246X.

[20] Goodwin, Elliot H. The New Cambridge Modern History Volume 8: The American and French Revolutions, 1763–93. — Cambridge University Press, 1965. — P. 130. — ISBN 9780521045469.

[21] Meyer, Herbert W. A History of Electricity and Magnetism. — Burndy Library, 1972. — P. 30–31. — ISBN 0-262-13070-X.

[22] Verschuur, Gerrit L. Hidden Attraction : The History And Mystery Of Magnetism. — Oxford University Press, 1993. — P. 78–79. — ISBN 0-19-506488-7.

[23] Darrigol Olivier. Electrodynamics from Ampère to Einstein. — Oxford University Press, 2000. — P. 9, 25. — ISBN 0-19-850593-0.

[24] Verschuur, Gerrit L. Hidden Attraction : The History And Mystery Of Magnetism. — Oxford University Press, 1993. — ISBN 0-19-506488-7.

[_e2f7f78894e36f09-25] Darrigol, 2000, p. 126–131, 139–144.

[26] Heaviside, Oliver (April 1889). “On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric”. Philosophical Magazine.

[27] Lorentz, Hendrik Antoon, Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern, 1895.

[28] Whittaker E. T. A History of the Theories of Aether and Electricity: From the Age of Descartes to the Close of the Nineteenth Century. — Longmans, Green and Co., 1910. — P. 420–423. — ISBN 1-143-01208-9.

[Griffiths50-29] See Griffiths, page 326, which states that Maxwell’s equations, «together with the [Lorentz] force law…summarize the entire theoretical content of classical electrodynamics».

[30] Physics Experiments (англ.). www.physicsexperiment.co.uk. Дата обращения: 14 августа 2018.

[Griffiths302-31] See Griffiths, pages 301-3.

[Chow-32] Tai L. Chow. Electromagnetic theory. — Sudbury MA : Jones and Bartlett, 2006. — P. 395. — ISBN 0-7637-3827-1.

[33] Landau, L. D., Lifshitz, E. M., & Pitaevskiĭ, L. P. Electrodynamics of continuous media; Volume 8 Course of Theoretical Physics. — Second. — Oxford : Butterworth-Heinemann, 1984. — P. §63 (§49 pp. 205–207 in 1960 edition). — ISBN 0-7506-2634-8.

[Harrington-34] Roger F. Harrington. Introduction to electromagnetic engineering. — Mineola, New York : Dover Publications, 2003. — P. 56. — ISBN 0-486-43241-6.

[35] M N O Sadiku. Elements of electromagnetics. — Fourth. — NY/Oxford : Oxford University Press, 2007. — P. 391. — ISBN 978-0-19-530048-2.

[_2a0c3bbf8f26a670-36] Landau, 1984, p. §63.

[37] Classical Mechanics (2nd Edition), T.W.B. Kibble, European Physics Series, McGraw Hill (UK), 1973, ISBN 0-07-084018-0.

[38] Lanczos, Cornelius, 1893-1974. The variational principles of mechanics. — Fourth. — New York, January 1986. — ISBN 0-486-65067-7.

[39] Jackson, J.D. Chapter 11

[40] Hestenes. SpaceTime Calculus (неопр.).