Плотность заряда

Линейная, поверхностная и объёмная плотности электрического заряда обычно задаются функциями ${\displaystyle \lambda ({\vec {r}})}$, ${\displaystyle \sigma ({\vec {r}})}$ и ${\displaystyle \rho ({\vec {r}})}$, соответственно, где ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радиус-вектор. Зная эти функции, можно определить полный заряд:

${\displaystyle Q=\int \limits _{L}\lambda ({\vec {r}})\operatorname {d} r}$,

${\displaystyle Q=\int \limits _{S}\sigma ({\vec {r}})\operatorname {d} S}$,

${\displaystyle Q=\int \limits _{V}\rho ({\vec {r}})\operatorname {d} V}$.

В квантовой механике плотность заряда, например электрона в атоме, связана с волновой функцией ${\displaystyle \psi ({\vec {r}})}$ через соотношение

${\displaystyle \rho ({\vec {r}})=Q|\psi ({\vec {r}})|^{2}}$,

причём волновая функция должна иметь нормировку:

${\displaystyle \int |\psi ({\vec {r}})|^{2}\operatorname {d} V=1}$.

Иногда требуется записать объёмную плотность заряда для системы из точечных зарядов. Это может быть сделано с использованием δ-функции:

${\displaystyle \rho ({\overrightarrow {r}})=\sum _{a}e_{a}\delta ({\overrightarrow {r}}-{\overrightarrow {r_{a}}})}$

где сумма берётся по всем имеющимся зарядам, а ${\displaystyle {\overrightarrow {r_{a}}}}$ — радиус-вектор заряда ${\displaystyle e_{a}}$.[1] Полный заряд, находящийся во всём пространстве, равен интегралу ${\displaystyle \int \rho dV}$ по всему пространству. Можно написать этот интеграл в четырёхмерном виде:

${\displaystyle Q=\int \rho dV={\frac {1}{c}}\int j^{0}dV={\frac {1}{c}}\int j^{i}ds_{i}}$

где интегрирование производится по всей четырёхмерной гиперплоскости, перпендикулярной к оси x⁰ (очевидно, что это и означает интегрирование по всему трёхмерному пространству). ${\displaystyle j^{i}}$ — 4-вектор плотности тока.

Объёмная плотность заряда в явном виде фигурирует в одном из уравнений Максвелла: (${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {D}}=\rho }$). Кроме того, она входит в уравнение непрерывности ${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {j}}+\partial \rho /\partial t=0}$.

Поверхностная плотность заряда входит в граничные условия для нормальных компонент электрической индукции на стыке двух сред: ${\displaystyle D_{2n}-D_{1n}=\sigma }$.

Плотность заряда в любом варианте (объёмная, поверхностная, линейная) может использоваться при вычислении напряжённости электрического поля или потенциала путём интегрирования закона Кулона

${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {({\vec {r}}-{\vec {\hat {r}}})\,dQ({\vec {\hat {r}}})}{|{\vec {r}}-{\vec {\hat {r}}}|^{3}}},\qquad \varphi ({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {dQ({\vec {\hat {r}}})}{|{\vec {r}}-{\vec {\hat {r}}}|}}}$,

где элемент заряда ${\displaystyle dQ}$ записывается как ${\displaystyle \rho dV}$, ${\displaystyle \sigma dS}$ или ${\displaystyle \lambda dl}$ в зависимости от конкретной задачи.

• Плотность тока

• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Изд. 4-е, стереотипное. — М.: Физматлит; Изд-во МФТИ, 2004. — Т. III. Электричество. — 656 с. — ISBN 5-9221-0227-3; ISBN 5-89155-086-5..
• САВЕЛЬЕВ И. В. Основы теоретической физики: Учеб. руководство: Для вузов. В 2 т. Т. 1. Механика и электродинамика.— 2-е изд., испр. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.— 496 с. ISBN 5-02-014455-X (Т. 1)