Формулы Грина — Кубо

Коэффициент самодиффузии ${\displaystyle D}$ выражается через интеграл корреляционной функции проекции скорости (импульса) частицы:

${\displaystyle D=\lim _{\varepsilon \to +0}m_{1}^{-2}\int \limits _{0}^{\infty }e^{-\varepsilon \tau }\langle p_{1}^{x}(0)p_{1}^{x}(\tau )\rangle \,\mathrm {d} \tau ,}$

где ${\displaystyle p_{i}}$ — импульс частицы (номер 1), верхний индекс ${\displaystyle x}$ означает ${\displaystyle x}$-компоненту вектора, ${\displaystyle \tau }$ — время. Угловые скобки означают усреднение по равновесному распределению Гиббса. В классическом случае формула упрощается:

${\displaystyle D=\int \limits _{0}^{\infty }\langle v_{1}^{x}(0)v_{1}^{x}(\tau )\rangle \,\mathrm {d} \tau .}$

${\displaystyle \lambda =\lim _{\varepsilon \to +0}\lim _{V\to \infty }{\frac {1}{V\,k_{B}T}}\int \limits _{0}^{\infty }e^{-\varepsilon \tau }\langle J_{Q}^{x}(0)J_{Q}^{x}(\tau )\rangle \,\mathrm {d} \tau ,}$

где ${\displaystyle \lambda }$ — коэффициент теплопроводности, ${\displaystyle V}$ — объём, ${\displaystyle T}$ — температура, ${\displaystyle k_{B}}$ — постоянная Больцмана, ${\displaystyle J_{Q}^{x}}$ — ${\displaystyle x}$-компонента потока тепла.

${\displaystyle \eta =\lim _{\varepsilon \to +0}\lim _{V\to \infty }{\frac {1}{V\,k_{B}T}}\int \limits _{0}^{\infty }e^{-\varepsilon \tau }\langle \pi ^{xy}(0)\pi ^{xy}(\tau )\rangle \,\mathrm {d} \tau ,}$

где ${\displaystyle \eta }$ — коэффициент сдвиговой вязкости, ${\displaystyle \pi ^{xy}}$ — компоненты тензора потока полного импульса.

${\displaystyle \zeta =\lim _{\varepsilon \to +0}\lim _{V\to \infty }{\frac {1}{V\,k_{B}T}}\int \limits _{0}^{\infty }e^{-\varepsilon \tau }\langle (1-{\mathcal {P}})\pi ^{xx}(0)\pi ^{xx}(\tau )\rangle \,\mathrm {d} \tau ,}$

где ${\displaystyle \zeta }$ — коэффициент объёмной вязкости, оператор

${\displaystyle {\mathcal {P}}\pi ^{xx}=\langle \pi ^{xx}\rangle +{\big (}H-\langle H\rangle {\big )}{\frac {\partial \langle \pi ^{xx}\rangle }{\partial \langle H\rangle }}+{\big (}N-\langle N\rangle {\big )}{\frac {\partial \langle \pi ^{xx}\rangle }{\partial \langle N\rangle }},}$

${\displaystyle H}$ — гамильтониан системы, ${\displaystyle N}$ — полное число частиц.

• Матрица плотности
• Уравнение Линдблада

• M. S. Green, Markoff Random Processes and the Statistical Mechanics of Time-Dependent Phenomena. II. Irreversible Processes in Fluids, J. Chem. Phys 22 (1954), p. 398—413.

• R. Kubo, Statistical-Mechanical Theory of Irreversible Processes. I. General Theory and Simple Applications to Magnetic and Conduction Problems, J. Phys. Soc. Jpn. 12 (1957), p. 570—586.

• Физическая энциклопедия / Прохоров А. М. (ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1992. — 672 с. — ISBN 5-85270-034-7.