Уравнение Линдблада

Уравнение Линдблада (реже — Уравнение Горини — Коссаковского — Сударшана — Линдблада, англ. GKSL equation) — уравнение для матрицы плотности, является наиболее общим видом марковского производящего уравнения, описывающего неунитарную (диссипативную, негамильтонову) эволюцию матрицы плотности ${\displaystyle \rho }$. Эволюция при этом представляется вполне-положительным отображением (супероператором), сохраняющим след. Предложено в 1976 году Витторио Горини, Анжеем Коссаковским, Джорджем Сударшаном[1] и Йёраном Линдбладом[2].

Уравнение Линдблада для матрицы плотности может быть записано в виде:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\rho ={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ]+{\frac {1}{2\hbar }}\sum _{k=1}^{\infty }{\big (}[V_{k}\rho ,V_{k}^{\dagger }]+[V_{k},\rho V_{k}^{\dagger }]{\big )},}$

где ${\displaystyle \rho }$ — матрица плотности, ${\displaystyle H}$ — оператор Гамильтона, ${\displaystyle V_{k}}$ — некие операторы. Если операторы ${\displaystyle V_{k}}$ равны нулю, то уравнение Линдблада переходит в уравнение фон Неймана (квантовое уравнение Лиувилля).

Уравнением Линдблада называют также уравнение для квантовой наблюдаемой. Это уравнение имеет вид:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A=-{\frac {1}{i\hbar }}[H,A]+{\frac {1}{2\hbar }}\sum _{k=1}^{\infty }{\big (}V_{k}^{\dagger }[A,V_{k}]+[V_{k}^{\dagger },A]V_{k}{\big )},}$

где ${\displaystyle A}$ — квантовая наблюдаемая. Если операторы ${\displaystyle V_{k}}$ равны нулю, то уравнение Линдблада для квантовой наблюдаемой ${\displaystyle A}$ переходит в уравнение Гейзенберга

Уравнение Линдблада, называемое также квантовым марковским уравнением, применяется для описания открытых, диссипативных и негамильтоновых квантовых систем.

Важным частным случаем уравнения Линдблада является модель случайных столкновений[3], в которой операторы ${\displaystyle V_{k}}$ имеют вид: ${\displaystyle V_{kl}=\hbar \gamma {\sqrt {{\tilde {\rho }}_{kk}}}|k\rangle \langle l|}$ (для удобства записи матричный индекс ${\displaystyle \ k}$ заменен на двойной). Подстановка этих операторов приводит уравнение Линдблада к виду:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\rho ={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ]+\gamma ({\tilde {\rho }}-\rho ),}$

где ${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$ — фиксированная диагональная матрица с ненулевыми элементами ${\displaystyle {\tilde {\rho }}_{kk}}$, такими, что ${\displaystyle \operatorname {Tr} {\tilde {\rho }}=1}$, описывающая матрицу плотности термодинамически равновесного состояния системы. Модель случайных столкновений пригодна для случаев, когда взаимодействие квантовой системы с резервуаром происходит в режиме коротких и сильных импульсов, между которыми система эволюционирует как закрытая.