Распределение Гиббса

Рассматриваемая система X вместе с термостатом Y представляет собой большую гамильтонову систему, находящуюся в состоянии термодинамического равновесия. Последнее означает, что все средние значения физических величин не изменяются со временем. Это означает, что плотность вероятности (в квантовом случае — соответствующий оператор) не зависит от времени:

${\displaystyle {\frac {\partial w(X,Y)}{\partial t}}=0,}$

следовательно, равновесная плотность вероятности является интегралом движения, то есть некоторой функцией механических интегралов движения, в т. ч. гамильтониана. Поскольку в рассматриваемых системах импульсы и моменты импульсов не являются интегралами движения, то фактически плотность вероятности может быть функцией лишь гамильтониана и возможно иных (неаддитивных) интегралов движения. Однако, исходя из постулата транзитивности теплового равновесия можно показать, что любые характеристики термодинамической системы зависят лишь от энергии и внешних параметров. Следовательно, плотность вероятностей должна быть лишь функцией гамильтониана:

${\displaystyle w(X,Y,a)=f{\big (}H(X,Y,a){\big )}.}$

Гамильтониан большой системы можно представить как сумму гамильтонианов рассматриваемой системы и термостата, пренебрегая гамильтонианом взаимодействия:

${\displaystyle H_{XY}=H_{X}+H_{Y}.}$

Поскольку

${\displaystyle w(X)=\int _{Y}w(X,Y)\,dY,}$

то можно считать, что плотность вероятности данной системы зависит только от её гамильтониана:

${\displaystyle w(X)=f{\big (}H(X){\big )}.}$

Для вывода конкретной формы зависимости рассмотрим две невзаимодействующие между собой системы, находящиеся в равновесии с термостатом. Эти системы можно с достаточной точностью считать независимыми с учётом того, что их размер существенно мал по сравнению с термостатом, и опосредованная взаимосвязь через термостат (через закон сохранения энергии) слаба. Следовательно

${\displaystyle w_{12}(X_{1},X_{2})=f(H_{12})=f(H_{1}+H_{2})=w_{1}(X_{1})w_{2}(X_{2})=f_{1}(H_{1})f_{2}(H_{2}).}$

То есть

${\displaystyle f(H_{1}+H_{2})=f_{1}(H_{1})f_{2}(H_{2}).}$

Логарифмируя данное выражение, получим:

${\displaystyle \ln f(H_{1}+H_{2})=\ln f_{1}(H_{1})+\ln f_{2}(H_{2}).}$

Дифференциал равен

${\displaystyle {\frac {f'(H)}{f(H)}}(dH_{1}+dH_{2})={\frac {f'_{1}(H_{1})}{f_{1}(H_{1})}}dH_{1}+{\frac {f'_{2}(H_{2})}{f_{2}(H_{2})}}dH_{2}.}$

В связи с произвольностью гамильтонианов это соотношение возможно, только если коэффициенты при дифференциалах одинаковы и постоянны:

${\displaystyle {\frac {f'(H)}{f(H)}}={\frac {f'_{1}(H_{1})}{f_{1}(H_{1})}}={\frac {f'_{2}(H_{2})}{f_{2}(H_{2})}}=\beta =\mathrm {const} .}$

Отсюда получаем каноническое распределение Гиббса:

${\displaystyle w(X)=f(H)=De^{-\beta H}.}$

Идеальный газ моделируется как система из ${\displaystyle N}$ одинаковых невзаимодействующих частиц в потенциальном ящике. Гамильтониан системы задается следующим образом:

${\displaystyle H(X)=\sum _{k=1}^{N}{\frac {p_{k}^{2}}{2m}}+\sum _{k=1}^{N}U(X_{k}),}$

где ${\displaystyle p^{2}=p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}$ — квадрат импульса, ${\displaystyle m}$ - масса и ${\displaystyle X_{k}=(x_{k},y_{k},z_{k})}$ — координаты k-й частицы.

Интеграл состояний равен

${\displaystyle Z=\int e^{-{\frac {1}{\Theta }}{\Big [}\sum _{k=1}^{N}{\frac {p_{k}^{2}}{2m}}+\sum _{k=1}^{N}U(x_{k}){\Big ]}}\,dXdP=\prod _{k=1}^{N}\int e^{-{\frac {p_{k}^{2}}{2m\Theta }}}\,dp_{k}\int e^{-{\frac {U(X_{k})}{\Theta }}}\,dX_{k}.}$

Поскольку потенциальная энергия U равна нулю внутри сосуда и стремится к бесконечности вне сосуда, то интегралы по координатам дают

${\displaystyle \prod _{k=1}^{N}\int e^{-{\frac {U(X_{k})}{\Theta }}}\,dX_{k}=\prod _{k=1}^{N}V=V^{N}.}$

Интегралы по импульсам сводятся к интегралам Пуассона:

${\displaystyle \int e^{-{\frac {p_{k}^{2}}{2m\Theta }}}\,dp_{k}={\sqrt {2\pi m\Theta }}.}$

Следовательно

${\displaystyle \prod _{k=1}^{N}\int e^{-{\frac {p_{k}^{2}}{2m\Theta }}}\,dp_{k}=\prod _{k=1}^{N}(2\pi m\Theta )^{3/2}=(2\pi m\Theta )^{3N/2}.}$

Таким образом, интеграл состояний идеального газа равен

${\displaystyle Z=V^{N}(2\pi m\Theta )^{3N/2}.}$

Следовательно распределение для идеального газа имеет вид

${\displaystyle w={\frac {1}{V^{N}(2\pi m\Theta )^{3N/2}}}e^{-\sum _{k=1}^{N}{\frac {p_{k}^{2}}{2m\Theta }}}.}$

Это известное распределение Максвелла для N независимых частиц.

Свободная энергия идеального газа равна

${\displaystyle \Psi =-\Theta \ln Z=-N\Theta [\ln V-3/2\ln \Theta -3/2\ln(2\pi m)].}$

Отсюда следует

${\displaystyle pV=-V{\frac {\partial \Psi }{\partial V}}=VN\Theta {\frac {1}{V}}=N\Theta =Nk_{B}T={\frac {m}{M}}RT.}$

Это известное уравнение Менделеева-Клапейрона для идеального газа.

Альтернативный вывод основан на следующих предположениях

1. Все доступные микросостояния системы равновероятны.
2. Равновесию соответствует наиболее вероятное распределение (подсистем по состояниям).
3. Вероятность пребывания подсистемы в некотором состоянии определяется только энергией состояния.

Статистический вес

${\displaystyle G={\frac {N!}{N_{1}!N_{2}!\dots }},\qquad (0)}$

как и в термодинамике, несёт смысл относительной вероятности нахождения системы в определённом микросостоянии. И, смотря на соотношение Больцмана ${\displaystyle S=k\ln G}$, легко понять, что состоянию с минимальной энтропией соответствует минимальный статистический вес. Нужно учесть, что в системе постоянны число частиц

${\displaystyle \sum \limits _{i}{N_{i}}=N=\mathrm {const} \qquad (1)}$

и полная энергия

${\displaystyle \sum \limits _{i}{N_{i}\varepsilon _{i}}=E=\mathrm {const} .\qquad (2)}$

Факториал больших чисел (а числа ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle N_{i}}$ большие; теми из них, которые малы, можно пренебречь) находится по формуле Стирлинга: ${\displaystyle N!={\sqrt {2\pi N}}\left({\frac {N}{e}}\right)^{N}\exp \left({\frac {\vartheta }{12N}}\right)}$, где ${\displaystyle 0<\vartheta <1}$. Эту точную формулу можно заменить приближённой

${\displaystyle N!={\sqrt {2\pi N}}\left({\frac {N}{e}}\right)^{N},\qquad (3)}$

так как относительная ошибка в вычислениях по этой формуле не превосходит ${\displaystyle e^{\frac {1}{12N}}-1\approx {\frac {1}{12N}}}$, уже при ${\displaystyle N=10}$ она меньше одного процента. Из соотношений (0), (1) и (3) следует следующее:

${\displaystyle G={\frac {N!}{\prod \limits _{i}{\sqrt {2\pi N_{i}}}N_{i}^{N_{i}}e^{-N_{i}}}}={\frac {N!\cdot \prod \limits _{i}e^{N_{i}}}{\left(\prod \limits _{i}{\sqrt {2\pi }}\right)\left(\prod \limits _{i}{\sqrt {N_{i}}}N_{i}^{N_{i}}\right)}}={\frac {\dfrac {N!\cdot e^{\sum \limits _{i}N_{i}}}{\left(2\pi \right)^{0{,}5N}}}{\prod \limits _{i}{\sqrt {N_{i}}}N_{i}^{N_{i}}}}={\frac {\dfrac {N!\cdot e^{\sum \limits _{i}N_{i}}}{\left(2\pi \right)^{0{,}5N}}}{\prod \limits _{i}N_{i}^{N_{i}+0{,}5}}}.}$

Числитель здесь есть функция от ${\displaystyle N}$, и можно ввести обозначение

${\displaystyle C(N)={\frac {N!\cdot e^{\sum \limits _{i}N_{i}}}{(2\pi )^{0{,}5N}}},}$

что даст

${\displaystyle G={\frac {C(N)}{\prod \limits _{i}N_{i}^{N_{i}+0{,}5}}}.\qquad (4)}$

Тогда из формулы Больцмана ${\displaystyle S=k\ln G}$ следует

${\displaystyle S=-k\sum \limits _{i}((N_{i}+0{,}5)\ln N_{i})+\mathrm {const} .}$

Здесь можно пренебречь 0,5 по сравнению с ${\displaystyle N_{i}}$. Тогда

${\displaystyle S=-k\sum \limits _{i}(N_{i}\ln N_{i})+\mathrm {const} .\qquad (5)}$

Максимум энтропии (5) с учётом соотношений (1) и (2), используя метод множителей Лагранжа, наступает при условиях

${\displaystyle \sum \ln N_{i}\,dN_{i}=0,\;\sum dN_{i}=0,\;\sum \varepsilon _{i}\,dN_{i}=0.}$

Отсюда ${\displaystyle \sum (\ln N_{i}+\beta +\alpha \varepsilon _{i})\,dN_{i}=0}$, где ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ — множители Лагранжа, не зависящие от переменных ${\displaystyle N_{i}}$. В системе имеется ${\displaystyle m}$ переменных и три уравнения — следовательно, любые две зависят от остальных; соответственно можно зависимыми считать ${\displaystyle N_{1}}$ и ${\displaystyle N_{2}}$ и выбрать множители Лагранжа так, чтобы коэффициенты при ${\displaystyle dN_{1}}$ и ${\displaystyle dN_{2}}$ обратились в 0. Тогда при остальных ${\displaystyle dN_{i}}$ переменные ${\displaystyle N_{3}}$, ${\displaystyle N_{4}}$, … можно принять за независимые, и при них коэффициенты также будут равны 0. Так получено

${\displaystyle \ln N_{i}+\beta +\alpha \varepsilon _{i}=0,}$

откуда

${\displaystyle {\bar {N}}_{i}=N_{0}e^{-\alpha \varepsilon _{i}},}$

где ${\displaystyle N_{0}=e^{-\beta }}$ — новая константа.

Для определения постоянной ${\displaystyle \alpha }$ можно заключить систему в теплопроводящие стенки и квазистатически изменять её температуру. Изменение энергии газа равно ${\displaystyle dE=\sum \varepsilon _{i}\,d{\bar {N}}_{i}}$, а изменение энтропии (из соотношения (5)) равно ${\displaystyle dS=-k\sum \ln {\bar {N}}_{i}\,d{\bar {N}}_{i}=-k\alpha \sum \varepsilon _{i}\,d{\bar {N}}_{i}}$. Так как ${\displaystyle dE=T\,dS}$, то отсюда ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{kT}}}$, и потому

${\displaystyle {\bar {N}}_{i}=N_{0}e^{-{\frac {\varepsilon _{i}}{kT}}}.\qquad (6)}$

Получено наиболее вероятное распределение системы. Для произвольной макроскопической системы (системы в термостате), окружённой протяжённой средой (термостатом), температура которой поддерживается постоянной, выполняется соотношение (6) — распределение Гиббса: им определяется относительная вероятность того, что система при термодинамическом равновесии находится в ${\displaystyle i}$-ом квантовом состоянии.

• распределение Больцмана
• распределение Максвелла
• Гиббс, Джозайя Уиллард

• Базаров И. П., Геворкян Э. В., Николаев П. Н. Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем. — М.: МГУ, 1986. — 312 с.
• Квасников И. А. Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем. Статистическая физика. — Том 2. — М.: УРСС, 2002. — 430 с.
• Кубо Р. Статистическая механика. — М.: Мир, 1967. — 452 c.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — В 5 т. — Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
• Терлецкий Я. П. Статистическая физика. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 1973. — 277 c.
• Ноздрев В. Ф., Сенкевич А. А. Курс статистической физики. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 1969. — 288 c.