Электрогидродинамика

Система уравнений электрогидродинамики может быть получена из системы уравнений Максвелла и уравнений гидродинамики при учёте ряда приближений. Во-первых, при рассмотрении электрогидродинамических явлений пренебрегают излучением движущейся заряженной жидкости и пренебрегают энергией магнитного поля по сравнению с энергией электростатического поля. Эти приближения могут быть записаны с помощью следующих неравенств:

${\displaystyle {\frac {\varepsilon \omega L}{c}}\ll 1\qquad {\frac {\sigma L}{\varepsilon c}}\ll 1}$

где ε, σ — диэлектрическая проницаемость и проводимость среды, ω — характерная частота изменения внешнего поля, L — характерный внешний размер среды, c — скорость света. Кроме того движение среды должно быть нерелятивистским (скорость её движения ${\displaystyle v\ll c}$), а её плотность должна быть достаточна велика (так что длина свободного пробега ${\displaystyle \lambda \ll L}$).

В случае слабопроводящих сред систему ЭГД-уравнений обычно записывают в системе СИ в следующем виде:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+v_{k}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}\right)={\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(p_{ik}+T_{ik}\right)+\rho f_{i}}$ — уравнение движения, определяющее баланс импульсов в произвольной точке среды

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial \rho v_{i}}{\partial x_{i}}}=0}$ — уравнение неразрывности

${\displaystyle -\nabla \cdot (\varepsilon \varepsilon _{0}\nabla \phi )=q}$ — уравнение Пуассона

${\displaystyle {\frac {\partial q}{\partial t}}+{\frac {\partial j_{i}}{\partial x_{i}}}=0}$ — уравнение непрерывности для электрического тока

Здесь введены следующие обозначения. ρ — массовая плотность среды, v_i — компоненты скорости, f_i — массовая плотность сил, действующих на среду, p_ik, T_ik — компоненты тензоров механических и максвелловых напряжений, φ — электростатический потенциал, q — объёмная плотность заряда, j_i — компоненты плотности электрического тока, ε₀ — электрическая постоянная.

Система представленных выше уравнений является незамкнутой. Для её замыкания необходимо записать уравнения состояния. Обычно используются следующие условия:

${\displaystyle p_{ik}=p\delta _{ik}+\tau _{ik}}$

${\displaystyle T_{ik}=-\left({1 \over 2}\varepsilon \varepsilon _{0}E^{2}-p_{str}\right)\delta {ik}+\varepsilon \varepsilon _{0}E_{i}E_{k}}$

${\displaystyle p_{str}={\varepsilon _{0} \over 2}\rho {\frac {\partial \varepsilon }{\partial \rho }}E^{2}}$

${\displaystyle j_{i}=j_{i}^{*}+qv_{i}}$

Здесь p — механическое давление, τ_ik — тензор вязких напряжений, p_str — стрикционное давление, связанное с пондеромоторным действием поля, j^* — миграционный ток, qv — конвективный ток, E_i — компоненты электрического поля.

${\displaystyle \rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho ({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=-\nabla p+\eta \Delta {\vec {v}}-\rho \nabla \phi }$ — уравнение Навье — Стокса

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} (-D\nabla \rho -\rho \mu \nabla \phi )=R-{\vec {v}}\cdot \nabla \rho }$ — уравнение Нернста — Планка

${\displaystyle -\nabla \cdot (\varepsilon \varepsilon \nabla \phi )=\rho }$ — уравнение Пуассона

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {v}}=0}$

• И. Б. Рубашов, Ю. С. Бортников. Электрогазодинамика. — М.: Атомиздат, 1971.
• Ю. К. Стишков, А. А. Остапенко. Электрогидродинамические течения в жидких диэлектриках. — Л.: Издат. Ленинградского университета, 1989. — 174 с.
• Electrohydrodynamics / A. Castellanos. — Wien: Springer, 1998. — (CISM Courses and Lectures No. 380).

• А. И. Жакин. Электрогидродинамика // УФН. — 2012. — Т. 182. — С. 495—520.
• А. И. Жакин. Электрогидродинамика заряженных поверхностей // УФН. — 2013. — Т. 183. — С. 153–177.