Уравнение Пуассона

Уравнение Пуассона является одним из важнейших уравнений электростатики. Нахождение ${\displaystyle \Phi (r)}$ для данного ${\displaystyle f}$ — важная практическая задача, поскольку это обычный путь для нахождения электростатического потенциала для данного распределения заряда. В единицах системы СИ:

${\displaystyle {\nabla }^{2}\phi =-{\rho \over \varepsilon _{0}},}$

где ${\displaystyle \phi }$ — электростатический потенциал (в вольтах), ${\displaystyle \rho }$ — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ — диэлектрическая проницаемость вакуума (в фарадах на метр).

Оно выводится из закона Гаусса (${\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {E} \equiv \nabla \cdot \mathbf {E} ={\rho \over \varepsilon _{0}})}$ и определения статического потенциала (${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi }$)[1]:

${\displaystyle {\rho \over \varepsilon _{0}}=\nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla \phi )=-\nabla \cdot \nabla \phi =-\nabla ^{2}\phi .}$

В единицах системы СГС:

${\displaystyle {\nabla }^{2}\phi =-{4\pi \rho }.}$

В области пространства, где нет непарной плотности заряда:

${\displaystyle \rho =0,}$

и уравнение для потенциала превращается в уравнение Лапласа:

${\displaystyle {\nabla }^{2}\phi =0.}$

Потенциал, источником которого служит точечный заряд,

${\displaystyle \Phi _{q}={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{q \over r}}$

— то есть кулоновский потенциал - есть по сути (а строго говоря при ${\displaystyle q=1}$) функция Грина

${\displaystyle \Phi _{1}(x,y,z)={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{1 \over r}}$

для уравнения Пуассона,

то есть решение уравнения

${\displaystyle \Delta \Phi =-{1 \over \varepsilon _{0}}\delta (x)\delta (y)\delta (z)\ ,}$

где ${\displaystyle \delta (x)}$ - обозначение дельта-функции Дирака, а произведение трех дельта-функций есть трехмерная дельта-функция, а ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.}$

В связи с этим ясно, что решение уравнения Пуассона с произвольной правой частью может быть записано как

${\displaystyle \Phi (x,y,z)=\int \rho (\xi ,\eta ,\zeta )\Phi _{1}(x-\xi ,y-\eta ,z-\zeta )d\xi d\eta d\zeta =}$

${\displaystyle =\int {1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{\rho (\xi ,\eta ,\zeta ) \over {\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}}}}d\xi d\eta d\zeta .}$

• Здесь имеется в виду наиболее простой случай «без граничных условий», когда принимается, что на бесконечности решение должно стремиться к нулю. Рассмотрение более общего случая произвольных граничных условий и вообще более подробное изложение - см. в статье Функция Грина.
• Физический смысл последней формулы - применение принципа суперпозиции (что возможно, поскольку уравнение Пуассона линейно) и нахождение потенциала как суммы потенциалов точечных зарядов ${\displaystyle \rho dV}$.

Если мы имеем объёмную сферически симметричную плотность гауссового распределения заряда ${\displaystyle \rho (r)}$:

${\displaystyle \rho (r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},}$

где ${\displaystyle Q}$ — общий заряд, тогда решение ${\displaystyle \Phi (r)}$ уравнения Пуассона:

${\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =-{\rho \over \varepsilon _{0}}}$

даётся:

${\displaystyle \Phi (r)={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{\frac {Q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),}$

где ${\displaystyle \mathrm {erf} (x)}$ — функция ошибок. Это решение может быть проверено напрямую вычислением ${\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi }$. Заметьте, что для ${\displaystyle r}$, много больших, чем ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \mathrm {erf} (x)}$ приближается к единице, и потенциал ${\displaystyle \Phi (r)}$ приближается к потенциалу точечного заряда ${\displaystyle {1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{Q \over r}}$, как и можно было ожидать.

• Дискретное уравнение Пуассона
• Экранированное уравнение Пуассона

• Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9