Экранированное уравнение Пуассона

В математике экранированное уравнение Пуассона — это дифференциальное уравнение в частных производных вида:

${\displaystyle \left[\nabla ^{2}-\lambda ^{2}\right]u(\mathbf {r} )=-f(\mathbf {r} ),}$

где ${\displaystyle {\nabla }^{2}}$ — оператор Лапласа, ${\displaystyle \lambda }$ — константа, ${\displaystyle f}$ — произвольная функция позиции (известна как «функция источника»), а ${\displaystyle u}$ — искомая функция. Экранированное уравнение Пуассона часто используется в физике, включая теорию Юкавы о мезонном экранировании и экранировании электрического поля в плазме.

Когда ${\displaystyle \lambda }$ равна нулю, уравнение превращается в уравнение Пуассона. Следовательно, когда ${\displaystyle \lambda }$ очень мала, решение приближается к решению неэкранированного уравнения Пуассона, которое является суперпозицией ${\displaystyle 1/r}$ функций, статистически взвешенной функцией источника ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle u(\mathbf {r} )_{(Poisson)}=\int d^{3}r'{\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.}$

С другой стороны, когда ${\displaystyle \lambda }$ очень велика, ${\displaystyle u}$ приближается к значению ${\displaystyle f/\lambda ^{2}}$, которое в свою очередь приближается к нулю, когда ${\displaystyle \lambda }$ уходит на бесконечность. Как мы увидим, решение для средних значений ${\displaystyle \lambda }$ ведёт себя как суперпозиция экранированных (или затухающих) ${\displaystyle 1/r}$ функций, причём ${\displaystyle \lambda }$ будет являться силой экранирования.

Экранированное уравнение Пуассона может быть решено для общего ${\displaystyle f}$ с использованием функции Грина. Функция Грина ${\displaystyle G}$ определяется как

${\displaystyle \left[\nabla ^{2}-\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {r} )=-\delta ^{3}(\mathbf {r} ).}$

Допустив, что ${\displaystyle u}$ и её производные пренебрежимо малы на больших ${\displaystyle r}$, мы можем выполнить преобразование Фурье в пространственных координатах:

${\displaystyle G(\mathbf {k} )=\int d^{3}r\;G(\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$

где интеграл берётся по всему пространству. Затем можно показать, что

${\displaystyle \left[k^{2}+\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {k} )=1.}$

Следовательно, функция Грина на ${\displaystyle r}$ даётся обратным преобразованием Фурье:

${\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\;\int d^{3}\!k\;{\frac {e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}{k^{2}+\lambda ^{2}}}.}$

Этот интеграл может быть оценён с использованием сферических координат в ${\displaystyle k}$-пространстве. Интегрирование по угловым координатам несложно, и интеграл упрощается — теперь интегрировать нужно только по одной радиальной координате ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {1}{2\pi ^{2}r}}\;\int \limits _{0}^{\infty }dk\;{\frac {k\,\sin kr}{k^{2}+\lambda ^{2}}}.}$

Этот интеграл может быть оценён путём интегрирования по контуру (теории вычетов). В итоге получаем:

${\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {e^{-|\lambda |r}}{4\pi r}}.}$

Итоговое решение всей задачи:

${\displaystyle u(\mathbf {r} )=\int d^{3}r'G(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')f(\mathbf {r} ')=\int d^{3}r'{\frac {e^{-|\lambda ||\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}f(\mathbf {r} ').}$

Как было указано выше, это суперпозиция экранированных ${\displaystyle 1/r}$ функций, статистически взвешенных функцией источника ${\displaystyle f}$, причём ${\displaystyle \lambda }$ является коэффициентом экранирования. Экранированная ${\displaystyle 1/r}$ функция часто появляется в физике как экранированный кулоновский потенциал, также известен и «потенциал Юкавы».