Взаимодействие Юкавы

Действие для мезонного поля ${\displaystyle \phi }$, взаимодействующего c дираковским фермионным полем ${\displaystyle \psi }$:

${\displaystyle S[\phi ,\psi ]=\int d^{d}x\;\left[{\mathcal {L}}_{\mathrm {meson} }(\phi )+{\mathcal {L}}_{\mathrm {Dirac} }(\psi )+{\mathcal {L}}_{\mathrm {Yukawa} }(\phi ,\psi )\right]}$

где интегрирование выполняется по d измерениям (обычно 4 для четырёхмерного пространства-времени). Лагранжиан мезонного поля:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {meson} }(\phi )={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -V(\phi )}$.

Здесь ${\displaystyle V(\phi )}$ — член, отвечающий за самодействие. Для свободного массивного мезона он равен ${\displaystyle V(\phi )={\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{2}}$ где ${\displaystyle \mu }$ масса мезона. Для (перенормируемого) самодействующего поля он равен ${\displaystyle V(\phi )={\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{2}+\lambda \phi ^{4}}$ где λ константа связи. Этот потенциал подробно рассматривается в статье взаимодействие четвёртого порядка.

Свободный лагранжиан Дирака равен

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {Dirac} }(\psi )={\bar {\psi }}(i\partial \!\!\!/-m)\psi }$

где m — положительная, действительная масса фермиона. Лагранжиан взаимодействия Юкавы равен

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {Yukawa} }(\phi ,\psi )=-g{\bar {\psi }}\phi \psi }$

где g — (действительная) константа связи для скалярных мезонов и

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {Yukawa} }(\phi ,\psi )=-g{\bar {\psi }}i\gamma ^{5}\phi \psi }$

для псевдоскалярных мезонов. Учитывая вышесказанное, действие можно записать как

${\displaystyle S[\phi ,\psi ]=\int d^{d}x\left[{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -V(\phi )+{\bar {\psi }}(i\partial \!\!\!/-m)\psi -g{\bar {\psi }}\phi \psi \right]}$

Если два скалярных мезона взаимодействуют посредством взаимодействия Юкавы, то потенциал между двумя частицами будет равен:

${\displaystyle V(r)=-{\frac {g^{2}}{4\pi }}{\frac {1}{r}}e^{-\mu r}}$

— потенциал Юкавы (такой же, как и кулоновский потенциал, если не учитывать знак и экспоненциальный фактор). Из-за знака взаимодействие Юкавы может быть только притяжением для всех частиц (электромагнитное взаимодействие является отталкиванием для одинаковых частиц). Это объясняется тем фактом, что частица Юкавы имеет нулевой спин, а чётный спин всегда приводит к потенциалу притяжения. Экспонента дает взаимодействию конечную дальность, так что частицы на больших расстояниях не взаимодействуют.

Пусть потенциал ${\displaystyle V(\phi )}$ имеет минимум не при ${\displaystyle \phi =0}$, а при каком-то ненулевом значении ${\displaystyle \phi _{0}}$. Это возможно, если написать (например) ${\displaystyle V(\phi )=\mu ^{2}\phi ^{2}+\lambda \phi ^{4}}$ и затем присвоить μ мнимое значение. В этом случае можно сказать, что лагранжиан показывает спонтанное нарушение симметрии. Ненулевое значение φ называется средним ожидаемым значением φ. В Стандартной модели это ненулевое значение ответственно за ненулевые фермионные массы, как показано ниже.

Чтобы показать член, содержащий массу, можно выразить действие через поле ${\displaystyle {\tilde {\phi }}=\phi -\phi _{0}}$, где ${\displaystyle \phi _{0}}$ понимается как константа, независимая от положения. Мы видим, что выражение Юкавы имеет член

${\displaystyle g\phi _{0}{\bar {\psi }}\psi }$

и поскольку g и ${\displaystyle \phi _{0}}$ — константы, этот член выглядит точно как массовый член для фермиона с массой ${\displaystyle g\phi _{0}}$. Это механизм, посредством которого спонтанное нарушение симметрии придает массу фермионам. Поле ${\displaystyle {\tilde {\phi }}}$ известно как Поле Хиггса.

Также возможно получить взаимодействие Юкавы между скаляром и полем Майорана. На самом деле, взаимодействие Юкавы между скаляром и спинором Дирака можно рассматривать как взаимодействие Юкавы между скаляром и двумя спинорами Майорана одной массы. Раскрыв в терминах двух хиральных спиноров Майорана, получим

${\displaystyle S[\phi ,\chi ]=\int d^{d}x\left[{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -V(\phi )+\chi ^{\dagger }i{\bar {\sigma }}\cdot \partial \chi +{\frac {i}{2}}(m+g\phi )\chi ^{T}\sigma ^{2}\chi -{\frac {i}{2}}(m+g\phi )^{*}\chi ^{\dagger }\sigma ^{2}\chi ^{*}\right]}$

где g — комплексная константа связи, а m — комплексное число.

Статья потенциал Юкавы содержит простой пример правил Фейнмана и вычисление амплитуды рассеяния по диаграмме Фейнмана, соответствующей взаимодействию Юкавы.

• Стандартная модель

• Claude Itzykson and Jean-Bernard Zuber, Quantum Field Theory, (1980) McGraw-Hill Book Co. New York ISBN 0-07-032071-3
• James D. Bjorken and Sidney D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics (1964) McGraw-Hill Book Co. New York ISBN 0-07-232002-8
• Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory (1995), Addison-Wesley Publishing Company, ISBN 0-201-50397-2