Псевдоскаляр

Псевдоскаляр — величина, не изменяющаяся при переносе и повороте координатных осей, но изменяющая свой знак при замене направления одной оси на противоположное (и вообще — при переходе к базису другой ориентации). Псевдотензор нулевого ранга.

Примеры

Для пространств (многообразий) любой размерности
  • ориентированный объем
  • свёртка полярных векторов в количестве, равном размерности пространства, с символом Леви-Чивиты соответствующей размерности.
  • вообще — скалярная свёртка нечётного (включая псевдовекторы и псевдоскаляры) количества псевдотензоров; или свертка любого количества тензоров и псевдотензоров, когда количество псевдотензоров нечетно.
  • в частности, произведение нечетного количества псевдоскаляров.

В трёхмерном пространстве

В двумерном пространстве (на двумерном многообразии)
  • псевдоскалярное произведение двух полярных векторов.
  • следовательно и ориентированная площадь (площадь внутри границы со знаком, приписываемым в соответствии с направлением обхода контура; может применяться для различения площади фигур и отверстий в них, но в этом случае само понятие площади со знаком очевидно отличается, и связан с ориентированной площадью лишь чисто технически[1]).
  • угол с учетом знака (например, угол поворота плоскости); имея при этом в виду, что положительное направление отсчета углов согласовано с ориентацией базиса (репера).
  • (Только в двумерном пространстве!) — угловая скорость, момент силы или момент импульса. (В трёхмерном пространстве эти три величины — псевдовекторы).
  • статический момент фигуры относительно какой-либо оси х: где под y подразумевается перпендикулярная оси x ось, и знак момента очевидно оказывается зависящим от выбора положительного направления у и таким образом от ориентации базиса.
  • интеграл векторного поля по замкнутому контуру где поле v - истинный вектор (не псевдовектор), а положительное направление контура С согласовано с базисом. (Если оба условия не выполнены, такой интеграл может оказаться истинным скаляром).
  • аналогичный интеграл будет псевдоскаляром и в случае, если v не является однозначной функцией точки плоскости, а определено как-то иначе, лишь бы это не был псевдовектор.

См. также

Примечания
  1. Площадь со знаком для учета отверстий может быть связана с псевдоскалярной ориентированной площадью множителем, принимающим значение +1 для правых базисов и -1 для левых базисов


This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.