Диаграммы Фейнмана

Поскольку диаграммы Фейнмана не стандартизированы даже для элементарных взаимодействий, некоторые из них могут иметь очень разные представления, часто адаптированные к используемому контексту. Протон, который представляет собой составную частицу, может отображаться в виде линии со стрелкой, сопровождаемой буквой ${\displaystyle p}$, круг, который в более общем виде представляет адроны, или три параллельные линии, изображающие два кварка u и кварк d:

• Адронные представления
• 
  Атом водорода (протон и электрон).
• 
  Кварк-антикварковая аннигиляция из двух адронов.
• 
  Бета-распад нейтрона на протон.
• 
  Еще одна форма бета-распада.

Световое или электронное явление, представленное на диаграмме Фейнмана, называется «последовательность»[19]. Последовательности происходят в пространстве-времени, изображающемся в системе отсчета с пространством по оси абсцисс, упрощённым до одного измерения вместо трёх, и временем по ординате[20]. Фейнман предпочёл направить время вверх, этот выбор был чисто произвольным, но физики элементарных частиц, похоже, все больше предпочитают ориентацию слева направо[Note 5][12][21].

• Соглашения о пространстве и времени
• 
  Время вверх, соглашение Фейнмана
• 
  Время направо, общепринятое соглашение

Фермионы представлены прямой линией со стрелкой, а частицы, переносчики взаимодефствий (бозоны), — волнистой или пунктирной линией. Последовательность испускания или поглощения фотона называется «соединение» или «связь»; он представлен вершиной, точкой соединения линий[22]. Связь называет излучение или поглощение по-разному, потому что оба явления имеют одинаковую амплитуду, равную постоянной тонкой структуры ${\displaystyle \alpha }$ для квантовой электродинамики или константе связи сильного ядерного взаимодействия ${\displaystyle \alpha _{s}}$ для квантовой хромодинамики.

Схема построена из трёх элементов: вершины, в которых сохраняются энергия и импульс, внешние линии представляют входящие и выходящие реальные частицы, а внутренние линии обозначают виртуальные частицы[15]. С каждой линией или вершиной связан множитель, который вносит вклад в амплитуду вероятности описанного процесса, фактор, связанный с виртуальной частицей (внутренней линией), называется пропагатором[23].

Типовая схема: входящие частицы показаны красным, а исходящие — зелёным, виртуальные частицы — синим, а вершины — чёрными точками.

Взаимодействие описывается набором диаграмм Фейнмана и определяется входящими и исходящими частицами. Можно измерить свойства этих частиц, такие как их энергия или их импульс, и убедиться, что они соответствуют уравнению эквивалентности массы и энергии Эйнштейна, ${\displaystyle E^{2}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}}$, в его релятивистской версии (сохранение 4-импульса)[24]. Говорят, что наблюдаемые таким образом частицы находятся на массовой оболочке[25].

С другой стороны, все линии, что находятся посередине, не поддаются измерению: они обозначают виртуальные частицы, они не подчиняются соотношению эквивалентности массы и энергии, не ограничены скоростью света и не обязаны следовать по стреле времени. Говорят, что они находятся вне массовой оболочки[26].

Чтобы проанализировать физический процесс, входящие и выходящие частицы которого известны, диаграммы Фейнмана позволяют представить бесконечное количество возможных реакций, которые происходят между этими внешними линиями. Каждая диаграмма соответствует, благодаря правилам Фейнмана, комплексному числу[Note 6], а сумма всех этих чисел с точностью до множителя равна амплитуде рассеяния реакции. Эффективность этого метода заключается в том, что каждая вершина связана с коэффициентом, пропорциональным константе связи, которая имеет очень маленькое значение. Например, в квантовой электродинамике стоит постоянна тонкой структуры:

Поскольку множители диаграммы умножаются, для полученияя её амплитуды, все диаграммы с большим количеством вершин имеют незначительный вклад; поэтому диаграммы с более чем четырьмя вершинами используются редко, поскольку получается хорошее приближение с шестью значащими цифрами[27].

• Примеры четырехвершинных диаграмм
• 
• 
• 
• 
• 

Две диаграммы 8-го порядка, которые использовались для расчёта значения постоянной тонкой структуры в 2012 г.

В особых случаях необходимо повысить точность вычислений до более высоких порядков. Например, в 2012 году, чтобы вычислить значение постоянной тонкой структуры, группа физиков измерила фактор Ланде в циклотроне и сравнила его с теоретическим расчётом порядка 10, включающим 12 12672 диаграмм Фейнмана. Полученная ошибка была меньше одной миллиардной[28].

Электрон (внизу) соединяется с фотоном (справа): эта последовательность содержит 5 базовых вершин.

В этой теории три основных правила позволяют генерировать все физические явления, которые связаны со светом и электронами[19]:

1. фотон переходит из одной точки в другую;
2. электрон переходит из одной точки в другую;
3. электрон испускает или поглощает фотон.

В более общем подходе квантовая электродинамика имеет дело с взаимодействиями между заряженными частицами (включая электроны и их античастицы — позитроны) и электромагнитным полем (векторами сил которого являются фотоны); на диаграммах Фейнмана электрон представлен стрелкой, направленной в направлении времени, позитрон — стрелкой, направленной в противоположном направлении, а фотон — волнистой линией[Note 7][29][30].

Взаимодействия между этими тремя частицами сводятся к единому узору при вершине, состоящему из входящей стрелки, исходящей стрелки и связи с фотоном. В зависимости от ориентации этой вершины во времени получается шесть возможных взаимодействий[31][15]:

• 
  Электрон излучает фотон : ${\displaystyle e^{-}\to e^{-}+\gamma }$
• 
  Электрон поглощает фотон : ${\displaystyle e^{-}+\gamma \to e^{-}}$
• 
  Позитрон излучает фотон : ${\displaystyle e^{+}\to e^{+}+\gamma }$
• 
  Позитрон поглощает фотон : ${\displaystyle e^{+}+\gamma \to e^{+}}$
• 
  Позитрон и электрон аннигилируют в фотоне : ${\displaystyle e^{+}+e^{-}\to \gamma }$
• 
  Фотон создает электрон и позитрон : ${\displaystyle \gamma \to e^{-}+e^{+}}$

Все взаимодействия между заряженными частицами и светом строятся из этих основных кирпичиков, и только их, потому что они подчиняются законам сохранения, в частности, сохранению энергии, сохранению импульса и сохранению электрического заряда. Любое более сложное взаимодействие — это комбинация этих шести вершин[32].

В 1968 году Ричард Фейнман показал, что его диаграммы также можно применить к сильному взаимодействию, поэтому они позволяют описывать квантовую хромодинамику, добавляя новые правила. Таким образом, фундаментальным процессом, аналогичным электрон-фотонной реакции в электродинамике, является кварк-глюонная реакция, в которой сохраняется цветовой заряд (но не аромат). У глюонов, несущих подобно кваркам цветовые заряды (в отличие от фотонов, которые являются нейтральными), есть вершины, содержащие только глюоны [33]:

• Вершина квантовой хромодинамики
• 
  вершинный КХД кварк глюон
• 
  вершинная КХД 3 глюона
• 
  вершинная КХД 4 глюона

Изучение сильных взаимодействий с диаграммами Фейнмана возможно благодаря свойству асимптотической свободы, которое позволяет применять теорию возмущений к кваркам и глюонам: на очень коротком расстоянии это взаимодействие становится слабым[34][35]. Затем определяется константа связи сильного взаимодействия для вершины, отмечено как ${\displaystyle \alpha _{s}}$ — это эквивалент постоянной тонкой структуры в квантовой электродинамике. Сложность квантовой хромодинамики связана с тем, что на кварки сильно влияют непертурбативные силы. Фиксируя на очень больших уровнях импульсов, где связь слабая, значение ${\displaystyle \alpha _{s}}$ позволяет рассчитать результат процесса рассеяния при высоких энергиях[36].

В слабом взаимодействии участвуют три его калибровочных бозона, W-бозон в двух его состояниях, ${\displaystyle W^{+}}$ и ${\displaystyle W^{-}}$, а также бозон ${\displaystyle Z^{0}}$[37]. Эти переносчики обычно изображаются пунктирной или волнистой линией (такой же, как у фотона) с буквой соответствующего бозона. Прямая линия со стрелками продолжается здесь до кварков и других лептонов, с соответствующими им символами.

• Вершина электрослабого взаимодействия (без символов)
• 
• 
• 
• 
• 
• 

Ни один метод не позволяет вычислить точные решения уравнений, задающих состояние квантовой системы, поэтому необходимо прибегать к приближениям, называемым рядами теории возмущений. Диаграммы Фейнмана позволяют визуализировать и легко систематизировать члены этих рядов[38].

Теория позволяет предсказывать значения сечений рассеяния процессов; эти значения сравниваются с результатами экспериментов по физике элементарных частиц, чтобы оценить надёжность данной теоретической модели. Обычно используется дифференциал этого эффективного сечения, который является функцией квадрата модуля амплитуды рассеяния, обозначаемого как ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$[39]:

${\displaystyle \mathrm {d} \sigma ={\frac {1}{E^{2}}}\,|{\mathcal {M}}|^{2}\mathrm {d} \Omega }$

• где ${\displaystyle E}$ — предполагаемая равная энергия каждого из двух пучков частиц, участвовавших в эксперименте.

Общей формулы для расчёта амплитуды ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ нет, но ряд теории возмущений может приближаться к точному значению[40].

Диаграммы Фейнмана — это графические обозначения членов бесконечного ряда, используемых для выполнения этих вычислений в теории возмущений. Каждая диаграмма представляет собой один из алгебраических членов ряда теории возмушений[41]. Эта алгебраическая сумма, разложение амплитуды рассеяния, эквивалентна серии диаграмм Фейнмана. Таким образом, каждый член связан с графом, который предлагает сценарий поведения в терминах частиц и их взаимодействий, причём каждый сценарий связан с другим своими входящими и исходящими линиями[42]. Переход от одного представления к другому позволяет выполнять вычисления в том виде, что кажется наиболее простым или наиболее подходящим[43].

Одним из первых основных результатов этих диаграмм является то, что они дают графический инструмент для вычисления элементов матрицы рассеяния в любом порядке теории возмущений[44].

Диаграмма Фейнмана с 4 вершинами и, следовательно, вкладом ${\displaystyle e^{4}}$.

Заряд электрона ${\displaystyle e}$ очень мал — его значение ${\displaystyle e^{2}\approx {\tfrac {1}{137}}}$ в правильно подобранных единицах[Note 8]. Когда вычисляется вклад взаимодействия с одиночным фотоном, он пропорционален ${\displaystyle e^{2}}$, с двумя фотонами — он пропорционален ${\displaystyle e^{4}}$, с тремя — возникает фактор ${\displaystyle e^{6}}$, что примерно в 10 000 раз меньше, чем ${\displaystyle e^{2}}$. Даже если кажется, что эта идея приводит к очень быстрому устранению вклада незначительных взаимодействий, их практический расчёт чрезвычайно сложен: ученик Вернера Гейзенберга попытался вычислить вклад для двух фотонов (в ${\displaystyle e^{4}}$), но в итоге получились сотни слагаемых[1].

В диаграмме Фейнмана вклад пертурбативного члена очевиден: вершина даёт вклад, равный ${\displaystyle e}$, тогда все множители можно классифицировать в соответствии с их вкладом, ${\displaystyle e^{2}}$, ${\displaystyle e^{4}}$, ${\displaystyle e^{6}}$ и др.[45]. Чтобы найти вероятность изменения квантового состояния изучаемого явления, остаётся только вычислить те члены, которые необходимы для желаемой точности, исключив бесконечное количество других возможных случаев[46].

На заре квантовой электродинамики в 1930-х годах расчёты в простейших случаях, таких как знание вероятности рассеяния двух электронов, часто давали бесконечные значения: были возможны только приближения, но как только мы захотели бы найти более точные значения, то возникала бесконечность. Это связано с тем, что виртуальные фотоны, которыми обмениваются заряженные частицы в этом взаимодействии, могут иметь очень высокую энергию, если они используют её в течение очень короткого времени. Помимо неограниченных энергий, количество виртуальных частиц также не ограничено: алгебраические уравнения требуют количества слагаемых, которое растёт экспоненциально с числом фотонов[47].

Вычисление интеграла по путям, который даёт вероятность перехода квантовой частицы из одной точки в другую, требует сложения вкладов всех возможных путей между этими двумя точками, а также учёта вкладов невозможных путей[48]. Точный расчёт невозможен, потому что необходимо было бы суммировать бесконечное количество промежуточных состояний[49]. Диаграммы Фейнмана позволяют найти желаемую вероятность среди этой бесконечности возможностей, причём с помощью чрезвычайно простых правил[50].

В диаграммах Фейнмана пропагаторами являются вклады виртуальных частиц. Их название происходит от того факта, что они описывают распространение этих частиц, которые движутся свободно, за исключением точек излучения или поглощения[51]. Ричард Фейнман применил функции Грина к элементарным частицам в форме особого оператора квантовой теории поля, который он назвал пропагатором[52].

Для свободного бозона уравнение Клейна — Гордона даёт уравнение движения:

${\displaystyle (p^{2}-m^{2})\psi (p)=0}$

• где ${\displaystyle \psi (p)}$ — скалярная волновая функция.

Функция Грина ${\displaystyle G(p)}$ является решением следующего уравнения в импульсном пространстве:

${\displaystyle (p^{2}-m^{2})G(p)=\delta ^{4}(p)}$

• где символ ${\displaystyle \delta }$ обозначает распределение Дирака, с ${\displaystyle \delta ^{4}(p)=\delta (p_{0})\delta (p_{1})\delta (p_{2})\delta (p_{3})}$.

${\displaystyle G(p)={\frac {\delta ^{4}(p)}{p^{2}-m^{2}}}}$ .

Фейнман интерпретировал ${\displaystyle G(p)}$ как амплитуду вероятности, связанную с бозоном, распространяющимся с четыреимпульсом ${\displaystyle p}$, что входит в выражение:

${\displaystyle {\frac {i}{p^{2}-m^{2}}}}$ .

Аналогичным образом он определяет оператор для вершин (отвечающие за испускание или поглощение бозона), что приводит к правилам Фейнмана, позволяющим вычислять амплитуды, описываемые его диаграммами[52].

Рассеяние Баба: позитрон и электрон кажутся отталкивающими друг друга, в то время как физически они притягиваются друг к другу.

Согласно принципу неопределенности Гейзенберга, мы не можем приписать частице траекторию. Нильс Бор интерпретирует его радикально, утверждая, что квантовые явления невозможно представить[6]. Диаграммы Фейнмана, кажется, противоречат этому утверждению, прямо показывая, что может происходить на атомном уровне. Аналогия со следами, оставляемыми частицами в пузырьковых камерах, подкрепляет эту идею[53]. Однако эти диаграммы никоим образом не отображают физические события[54]. Они могут даже вводить в заблуждение, потому что противоречат явлению, которое иллюстрируют: например, в рассеянии Баба электрон и позитрон притягиваются друг к другу, в то время как на их диаграмме линии в конечном итоге раздвигаются, и частицы, кажется, отталкиваются друг от друга[27].

С физической точки зрения диаграмма Фейнмана соответствует бесконечному набору событий, сумме всех возможных и невозможных путей, представленных интегралом по траекториям. Более того, у неё нет масштаба, её вершины и линии не являются ни частицами, ни расстояниями[54]. С математической точки зрения диаграммы, используемые в квантовой теории поля, представляют собой только члены суммы амплитуд вероятностей, аппроксимации в ряде теории возмущений. Такая диаграмма соответствует ненаблюдаемым событиям, называемым «виртуальными частицами» [55].

Ричард Фейнман предостерёг от образного использования его диаграмм. Он рассматривал их только как помощь в интерпретации уравнений теории поля[11]. Он также нашёл их забавными, когда начал их рисовать, и они не были интуитивно понятными, когда он представил их другим физикам[56].

Однако их успех связан с тем, что они оказались ценным подспорьем для визуализации и манипулирования рядами теории возмущений, особенно потому, что каждый алгебраический член имеет соответствующую диаграмму Фейнмана[42]. Таким образом Джулиан Швингер выделил их образовательные и нефизические достоинства[57].

Если максимально упростить, то можно сказать, что диаграммы Фейнмана показывают рассеяние электронов и фотонов в абстрактной форме. Но большинство физиков избегают использования этой аналогии[58] .

Эти диаграммы иногда путают с диаграммами Минковского, существовавшими до фейнмановских и интуитивно описывающими свойства пространства-времени в специальной теории относительности[59].

Правила Фейнмана для расчета ${\displaystyle -i{\mathcal {M}}}$ в квантовой электродинамике[60]:

Категория	Символ	Спин	Частица (ы)	Коэффициент умножения
Внешние линии		0	входящий бозон	1
		0	исходящий бозон	1
		0	входящий антибозон	1
		0	исходящий антибозон	1
		½	входящий фермион	${\displaystyle u}$
		½	уходящий фермион	${\displaystyle {\bar {u}}}$
		½	входящий антифермион	${\displaystyle {\bar {v}}}$
		½	исходящий антифермион	${\displaystyle v}$
		1	входящий фотон	${\displaystyle \epsilon _{\mu }}$
		1	исходящий фотон	${\displaystyle \epsilon _{\mu }^{*}}$
Пропагаторы (внутренние линии)		0	бозон	${\displaystyle {\frac {i}{q^{2}-m^{2}}}}$
		½	фермион	${\displaystyle {\frac {i(q\!\!\!/+m)}{q^{2}-m^{2}}}}$
		1	безмассовая частица (фотон)	${\displaystyle {\frac {-ig_{\mu \nu }}{q^{2}}}}$
		1	массивная частица (бозон)	${\displaystyle {\frac {-i(g_{\mu \nu }-q_{\mu }q_{\nu }/m^{2})}{q^{2}-m^{2}}}}$
Вершина				${\displaystyle -ig_{e}\gamma ^{\mu }}$

• где ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ — дираковские спиноры, причём для ${\displaystyle u(p)}$ нормирован: ${\displaystyle {\bar {u}}(p)u(p)=2m}$ ,
• ${\displaystyle \epsilon _{\mu }}$ — вектор круговой поляризации фотона,
• ${\displaystyle m}$ — масса частицы,
• ${\displaystyle i}$ — мнимая единица,
• ${\displaystyle q\!\!\!/=\gamma ^{\mu }q_{\mu }}$ — обозначение для четырёхимпульса ${\displaystyle q_{\mu }}$ и матрицы Дирака ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ,
• ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ — метрика Минковского,
• ${\displaystyle g_{e}}$ — заряд электрона.

Правила Фейнмана в квантовой хромодинамике[61]:

Категория	Символ	Частица (ы)	Коэффициент умножения
Внешние линии		входящий кварк	${\displaystyle u^{(s)}(p)c}$
		уходящий кварк	${\displaystyle {\bar {u}}^{(s)}(p)c^{\dagger }}$
		входящий антикварк	${\displaystyle {\bar {v}}^{(s)}(p)c^{\dagger }}$
		исходящий антикварк	${\displaystyle v^{(s)}(p)c}$
		входящий глюон	${\displaystyle \epsilon _{\mu }(p)a^{\alpha }}$
		исходящий глюон	${\displaystyle \epsilon _{\mu }^{*}(p)a^{\alpha *}}$
Пропагаторы		кварк или антикварк	${\displaystyle {\frac {i(q\!\!\!/+m)}{q^{2}-m^{2}}}}$
		глюон	${\displaystyle {\frac {-ig_{\mu \nu }\delta ^{\alpha \beta }}{q^{2}}}}$
Вершина		кварк-глюон	${\displaystyle {\frac {-ig_{s}}{2}}\lambda ^{\alpha }\gamma ^{\mu }}$
		3 глюона	${\displaystyle -g_{s}f^{\alpha \beta \gamma }[g_{\mu \nu }(k_{1}-k_{2})_{\mu }}$ ${\displaystyle +}$${\displaystyle g_{\nu \lambda }(k_{2}-k_{3})}$${\displaystyle +}$${\displaystyle g_{\lambda \mu }(k_{3}-k_{1})_{\nu }]}$
		4 глюона	${\displaystyle -ig_{s}^{2}[f^{\alpha \beta \eta }f^{\gamma \delta \eta }(g_{\mu \lambda }g_{\nu \rho }-g_{\mu \rho }g_{\nu \lambda })}$ ${\displaystyle +}$${\displaystyle f^{\alpha \delta \eta }f^{\beta \gamma \eta }(g_{\mu \nu }g_{\lambda \rho }-g_{\mu \lambda }g_{\nu \rho })}$${\displaystyle +}$${\displaystyle f^{\alpha \gamma \eta }f^{\delta \beta \eta }(g_{\mu \rho }g_{\nu \lambda }-g_{\mu \nu }g_{\lambda \rho })]}$

Правила Фейнмана для слабого взаимодействия[62]:

Категория	Символ	Частица (ы)	Коэффициент умножения
Вершина		W-бозон, лептон и его нейтрино	${\displaystyle {\frac {-ig_{w}}{2{\sqrt {2}}}}\gamma ^{\mu }(1-\gamma ^{5})}$
		qi — это u-кварк, c-кварк или t-кварк, qj — это это d-кварк, s-кварк или b-кварк	${\displaystyle {\frac {-ig_{w}}{2{\sqrt {2}}}}\gamma ^{\mu }(1-\gamma ^{5})U_{ij}}$ (где U — это CKM-матрица)
		Z0 бозон, f — кварк или лептон	${\displaystyle {\frac {-ig_{z}}{2}}\gamma ^{\mu }(c_{V}^{f}-c_{A}^{f}\gamma ^{5})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C_{V}}$ ${\displaystyle C_{A}}$ ${\displaystyle \nu _{e}}$, ${\displaystyle \nu _{\mu }}$, ${\displaystyle \nu _{\tau }}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle e^{-}}$, ${\displaystyle \mu ^{-}}$, ${\displaystyle \tau ^{-}}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}+2\sin ^{2}\theta _{w}}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {4}{3}}\sin ^{2}\theta _{w}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}\sin ^{2}\theta _{w}}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$
		3 бозона	${\displaystyle ig_{w}\cos \theta _{w}[g_{\nu \lambda }(q_{1}-q_{2})_{\mu }}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle g_{\lambda \mu }(q_{2}-q_{3})_{\nu }}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }(q_{3}-q_{1})_{\lambda }]}$
		2 W-бозона и фотон	${\displaystyle ig_{e}[g_{\nu \lambda }(q_{1}-q_{2})_{\mu }}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle g_{\lambda \mu }(q_{2}-q_{3})_{\nu }}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }(q_{3}-q_{1})_{\lambda }]}$
		2 W-бозона и 2 Z-бозона	${\displaystyle -ig_{w}^{2}\cos ^{2}\theta _{w}(2g_{\mu \nu }g_{\lambda \sigma }-g_{\mu \lambda }g_{\nu \sigma }-g_{\mu \sigma }g_{\nu \lambda })}$
		2 W+ бозона и 2 W- бозона	${\displaystyle ig_{w}^{2}(2g_{\mu \lambda }g_{\nu \sigma }-g_{\mu \nu }g_{\lambda \sigma }-g_{\mu \sigma }g_{\nu \lambda })}$
		2 W-бозона и 2 фотона	${\displaystyle -ig_{e}^{2}(2g_{\mu \nu }g_{\lambda \sigma }-g_{\mu \lambda }g_{\nu \sigma }-g_{\mu \sigma }g_{\nu \lambda })}$
		2 W-бозона, Z-бозон и фотон	${\displaystyle -ig_{e}g_{w}\cos \theta _{w}(2g_{\mu \nu }g_{\lambda \sigma }-g_{\mu \lambda }g_{\nu \sigma }-g_{\mu \sigma }g_{\nu \lambda })}$

Аннигиляция пары электрон-позитрон, которая даёт пару мюон-антимюон, где ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle p'}$, ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle k'}$ — четырёхимпульсы частиц.

Реакция аннигиляции электрон-позитронной пары, дающая пару мюон-антимюон, является простейшей и наиболее важной в квантовой электродинамике[65].

Амплитуда перехода этой реакции записывается[66]:

${\displaystyle {\mathcal {M}}\sim \langle \mu ^{+}\mu ^{-}\mid H_{I}\mid \gamma \rangle ^{\mu }\langle \gamma \mid H_{I}\mid e^{+}e^{-}\rangle _{\mu }}$

• где ${\displaystyle \mid e^{+}e^{-}\rangle }$ — множитель, соответствующий внешним линиям диаграммы для позитрона и электрона,
• ${\displaystyle \langle \mu ^{+}\mu ^{-}\mid }$ — фактор для антимюона и мюона,
• ${\displaystyle H_{I}}$ — вершины (часть оператора Гамильтона отвечающего за взаимодействия),
• ${\displaystyle \mid \gamma \rangle \langle \gamma \mid }$, оператор внутренней линии фотона.

Используя правила Фейнмана, получаем[67]:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\overline {v}}^{s'}({p'})(-ie\gamma ^{\mu })u^{s}(p)({\frac {-ig_{\mu \nu }}{q^{2}}}){\overline {u}}^{r}({k})(-ie\gamma ^{\nu })v^{r'}(k')}$

• где ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle {\overline {u}}}$ и ${\displaystyle {\overline {v}}}$ — спиноры внешних линий, причем ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle s'}$, ${\displaystyle r}$, и ${\displaystyle r'}$ их спины,
• ${\displaystyle -ie\gamma ^{\mu }}$ и ${\displaystyle -ie\gamma ^{\nu }}$ — вершины (${\displaystyle H_{I}}$),
• и ${\displaystyle {\frac {-ig_{\mu \nu }}{q^{2}}}}$ соответствует линии фотона (оператор ${\displaystyle \mid \gamma \rangle \langle \gamma \mid }$).

Рассеяние Баба — это процесс рассеяния между элементарной частицей и её античастицей, то есть электроном и позитроном в квантовой электродинамике. Он описывается двумя диаграммами: классического рассения и аннигиляции с рождением пар:

• 
  Аннигиляция (s канал)
• 
  Рассеяние (t канал)

Каналы ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle t}$ определяются переменными Мандельштама[68]. Благодаря правилам Фейнмана запишем для каждой диаграммы (и, следовательно, для каждого канала) матричный элемент:

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{s}={\bar {v}}(k)\mathrm {i} e\gamma ^{\mu }u(p){\frac {\mathrm {i} g_{\mu \nu }}{(k+p)^{2}}}{\bar {u}}(p')\mathrm {i} e\gamma ^{\nu }v(k')}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{t}={\bar {v}}(k)\mathrm {i} e\gamma ^{\rho }v(k'){\frac {\mathrm {i} g_{\rho \sigma }}{(k'-k)^{2}}}{\bar {u}}(p')\mathrm {i} e\gamma ^{\sigma }u(p)}$

• где ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle k'}$ — четырёхимпульсы позитрона, ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle p'}$ — электрона,
• ${\displaystyle v}$ и ${\displaystyle {\bar {v}}}$ — позитронные спиноры, ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle {\bar {u}}}$ — электронные,
• ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$, ${\displaystyle \gamma ^{\nu }}$, ${\displaystyle \gamma ^{\rho }}$ и ${\displaystyle \gamma ^{\sigma }}$ — матрицы Дирака.

Эффект Комптона — это неупругое рассеяние фотона веществом. Следующие диаграммы дают представление о двух возможных порядках поглощения и испускания фотонов[69]

• Эффект Комптона
• 
  Последний фотон, испущенный после
• 
  Последний фотон, испущенный до

Если мы напишем этот процесс ${\displaystyle e^{-}(p)\gamma (k)\to e^{-}(p')\gamma (k')}$ с участием ${\displaystyle \epsilon }$ исходный фотон и ${\displaystyle \epsilon '}$ рассеянный фотон, то правила Фейнмана дают для амплитуд двух диаграмм[70]:

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}={\bar {u}}(p')(-ie\gamma ^{\mu }){\frac {i(q\!\!\!/+m)}{q^{2}-m^{2}}}(-ie\gamma ^{\mu })u(p)\epsilon '_{\mu }\epsilon _{\nu }}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}={\bar {u}}(p')(-ie\gamma ^{\mu }){\frac {i(q\!\!\!/+m)}{q^{2}-m^{2}}}(-ie\gamma ^{\mu })u(p)\epsilon '_{\nu }\epsilon _{\mu }}$

Меллеровское рассеяние описывает рассеяние двух электронов: ${\displaystyle e^{-}e^{-}\rightarrow e^{-}e^{-}}$, и включает каналы ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle u}$ Мандельштама

• 
  Канал t
• 
  Канал u

Лэмбовский сдвиг представляет собой разницу между двумя определёнными уровнями тонкой структуры атома водорода ${\displaystyle 2S_{1/2}}$ и ${\displaystyle 2P_{1/2}}$. Первые три вклада в этот сдвиг представлены следующими диаграммами, дающими по порядку перенормировку массы электрона, его аномального магнитного момента и поляризации вакуума, что в сумме дают 1058 MHz по сравнению с предсказанием для сдвига из уравнения Дирака, которое даёт вырождение[71]

• Первые три вклада в лэмбовский сдвиг
• 
  1017 MHz
• 
  68 MHz
• 
  -27 MHz

Взаимодействие электрона с квантовыми флуктуациями в вакууме.

Собственно-энергетическая часть фотона [72] .

Фотоны, излучаемые, а затем повторно поглощаемые одним и тем же электроном, являются виртуальными фотонами из-за взаимодействия с квантовыми флуктуациями в вакууме. Следующие диаграммы также представляют собственно-энергетические части электрона с несколькими петлями[73]:

• Петли собственной энергетической части
• 
• 
• 

Электрон-позитронная аннигиляция и рождение кварков.

В квантовой хромодинамике электрон-позитронная аннигиляция, которая рождает пару кварков, включает в качестве первой поправки три различные диаграммы, все с обменом глюоном[74]:

• Вклады порядка α
• 
• 
• 

• Julien Baglio (2011). “Higgs production at the lHC” (PDF). Journal of High Energy Physics [англ.]. arXiv:1012.0530. DOI:10.1007/JHEP03(2011)055. Дата обращения 14 november 2017. Проверьте дату в |accessdate= (справка на английском).
• Zvi Bern, Lance J. Dixon, David A. Kosower (2012). “Loops, Trees and the Search for New Physics” (pdf). Scientific American [англ.]. 306 (5). DOI:10.1038/scientificamerican0512-34..
• L. D. Blokhintsev (2003). “Feynman diagrams in nuclear physics at low and intermediate energies” (pdf). Selected topics in theoretical physics and astrophysics [англ.]: 99—104..
• Feynman, Richard. Lumière et matière : une étrange histoire. — Paris : InterEditions Seuil, 1992. — ISBN 9782020147583.
• Richard Feynman (1949). “The Theory of Positrons” (PDF). Physical Review [англ.]. 76 (6): 749—759. 1949Positrons. Дата обращения 8 october 2017. Проверьте дату в |accessdate= (справка на английском).
• Griffiths, David. Introduction to elementary particles. — New York : Wiley, 2004. — ISBN 9780471603863.
• 't Hooft, Gerardus. Diagrammar..
• Kaiser, David. Drawing theories apart : the dispersion of Feynman diagrams in postwar physics. — Chicago : University of Chicago Press, 2005. — ISBN 0226422666.
• David Kaiser (2005). “Physics and Feynman's Diagrams” (PDF). American Scientist [англ.]. 93: 156—165. 2005Physics. Дата обращения 8 october 2017. Проверьте дату в |accessdate= (справка на английском)
• Marleau, Luc. Introduction à la physique des particules. — 2017. — P. 413.
• Martin, Philippe. Problèmes à N-corps et champs quantiques : Cours élémentaire. — Lausanne : Presses polytechniques et universitaires romandes, 1990. — ISBN 2880741939.
• Mattuck, Richard. A guide to Feynman diagrams in the many-body problem. — New York : Dover Publications, 1992. — ISBN 9780486670478.
• Peskin, Michael. An Introduction To Quantum Field Theory. — New York : Westview Press, 1995. — ISBN 0201503972.
• Alexis Rosenbaum (2009). “Sur le statut des diagrammes de Feynman en théorie quantique des champs”. Philosophia Scientiæ. 13 (2): 151—166. DOI:10.4000/philosophiascientiae.301. Дата обращения 19 september 2017. Проверьте дату в |accessdate= (справка на английском); |access-date= требует |url= (справка)
• Taillet, Richard. Dictionnaire de physique : + de 6000 termes, nombreuses références historiques, 3700 référence bibliographiques. — Bruxelles : De Boeck, 2013. — ISBN 9782804175542.
• Veltman, Martinus. Diagrammatica : the path to Feynman rules. — Cambridge : Cambridge University Press, 1994. — ISBN 0521456924.
• Wüthrich, Adrian. The genesis of Feynman diagrams. — Dordrecht New York : Springer Science+Business Media B.V, 2011. — ISBN 9789048192274.
• Zee, A. Quantum field theory in a nutshell. — Princeton, N.J : Princeton University Press, 2010. — ISBN 9780691140346.

• Gilles Cohen-Tannoudji. Les diagrammes de Feynman, la partition du modèle standard (MP3, MP4, MOV, WMV). École normale supérieure (Paris): Collectif Histoire Philosophie Sciences.
• Matt O’Dowd. Solving the Impossible in Quantum Field Theory (YouTube). PBS Space Time.
• Matt O’Dowd. The Secrets of Feynman Diagrams (YouTube). PBS Space Time.

• Диаграмма пингвина

• Lincoln, Don. Feynman diagrams (англ.). YouTube (2016).
• Aivazis, Alec. Draw Feynman Diagram Online (англ.). Дата обращения: 23 января 2022. (англ.) Онлайн-инструмент для рисования диаграмм Фейнмана
• The JaxoDraw team. JaxoDraw (англ.). Дата обращения: 23 января 2022. (англ.) Программа для рисования диаграмм Фейнмана.
• Goossens, Michel. Drawing Feynman Diagrams with LaTeX and METAFONT (or METAPOST) (англ.). Дата обращения: 23 января 2022. (англ.) Построение диаграмм Фейнмана в LaTeX
• Dimm, Bill. Drawing Feynman Diagrams with LaTeX and METAFONT (or METAPOST) (англ.). Дата обращения: 23 января 2022. (англ.) Построение диаграмм Фейнмана на C++