Эквивалентность массы и энергии

Исторически принцип эквивалентности массы и энергии был впервые сформулирован в своей окончательной форме при построении специальной теории относительности Альбертом Эйнштейном. Им было показано, что для свободно движущейся частицы, а также свободного тела и вообще любой замкнутой системы частиц, выполняются следующие соотношения[12]:

${\displaystyle \ E^{2}-{\vec {p}}^{\,2}c^{2}=m^{2}c^{4},\qquad {\vec {p}}={\frac {E{\vec {v}}}{c^{2}}}}$,

(1.1)

где ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle {\vec {p}}}$, ${\displaystyle {\vec {v}}}$, ${\displaystyle m}$ — энергия, импульс, скорость и инвариантная масса системы или частицы, соответственно, ${\displaystyle c}$ — скорость света в вакууме. Из этих выражений видно, что в релятивистской механике, даже когда в нуль обращаются скорость и импульс тела (массивного объекта), его энергия в нуль не обращается[13], оставаясь равной некоторой величине, определяемой массой тела:

${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$.

(1.2)

Эта величина носит название энергии покоя[14], и данное выражение устанавливает эквивалентность массы тела этой энергии. На основании этого факта Эйнштейном был сделан вывод, что масса тела является одной из форм энергии[3] и что тем самым законы сохранения массы и энергии объединены в один закон сохранения[15].

Энергия и импульс тела являются компонентами 4-вектора энергии-импульса (четырёхимпульса)[16] (энергия — временной, импульс — пространственными) и соответствующим образом преобразуются при переходе из одной системы отсчёта в другую, а масса тела является лоренц-инвариантом, оставаясь при переходе в другие системы отсчёта постоянной, и имея смысл модуля вектора четырёхимпульса.

Несмотря на то, что энергия и импульс частиц аддитивны[17], то есть для системы частиц имеем:

${\displaystyle \ E=\sum _{i}E_{i}\qquad {\vec {p}}=\sum _{i}{\vec {p}}_{i}}$

(1.3)

масса частиц аддитивной не является[12], то есть масса системы частиц, в общем случае, не равна сумме масс составляющих её частиц.

Таким образом, энергия (неинвариантная, аддитивная, временная компонента четырёхимпульса) и масса (инвариантный, неаддитивный модуль четырёхимпульса) — это две разные физические величины[7].

Эквивалентность инвариантной массы и энергии покоя означает, что в сопутствующей системе отсчёта, в которой свободное тело покоится, его энергия (с точностью до множителя ${\displaystyle c^{2}}$) равна его инвариантной массе[7][18].

Четырёхимпульс равен произведению инвариантной массы на четырёхскорость тела.

${\displaystyle p^{\mu }=m\,U^{\mu }\!}$,

(1.4)

Это соотношение следует считать аналогом в специальной теории относительности классического определения импульса через массу и скорость.

После того, как Эйнштейн предложил принцип эквивалентности массы и энергии, стало очевидно, что понятие массы может интерпретироваться двояко. С одной стороны, это инвариантная масса, которая — именно в силу инвариантности — совпадает с той массой, что фигурирует в классической физике, с другой — можно ввести так называемую релятивистскую массу, эквивалентную полной (включая кинетическую) энергии физического объекта[4]:

${\displaystyle \ m_{rel}={\frac {E}{c^{2}}}}$,

(2.1)

где ${\displaystyle m_{\mathrm {rel} }}$ — релятивистская масса, ${\displaystyle E}$ — полная энергия объекта.

Для массивного объекта (тела) эти две массы связаны между собой соотношением:

${\displaystyle \ m_{rel}={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$,

(2.2)

где ${\displaystyle m}$ — инвариантная («классическая») масса, ${\displaystyle v}$ — скорость тела.

Соответственно,

${\displaystyle \ E=m_{rel}c^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$.

(2.3)

Энергия и релятивистская масса — это одна и та же физическая величина (неинвариантная, аддитивная, временная компонента четырёхимпульса)[7].

Эквивалентность релятивистской массы и энергии означает, что во всех системах отсчёта энергия физического объекта (с точностью до множителя ${\displaystyle c^{2}}$) равна его релятивистской массе[7][19].

Введённая таким образом релятивистская масса является коэффициентом пропорциональности между трёхмерным («классическим») импульсом и скоростью тела[4]:

${\displaystyle \ {\vec {p}}=m_{rel}{\vec {v}}}$,

(2.4)

Аналогичное соотношение выполняется в классической физике для инвариантной массы, что также приводится как аргумент в пользу введения понятия релятивистской массы. Это в дальнейшем привело к тезису, что масса тела зависит от скорости его движения[20].

В процессе создания теории относительности обсуждались понятия продольной и поперечной массы массивной частицы (тела). Пусть сила, действующая на тело, равна скорости изменения релятивистского импульса. Тогда связь силы ${\displaystyle {\vec {F}}}$ и ускорения ${\displaystyle {\vec {a}}=d{\vec {v}}/dt}$ существенно изменяется по сравнению с классической механикой:

${\displaystyle {\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\frac {m{\vec {a}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m{\vec {v}}\cdot ({\vec {v}}{\vec {a}})/c^{2}}{(1-v^{2}/c^{2})^{3/2}}}.}$

Если скорость перпендикулярна силе, то ${\displaystyle {\vec {F}}=m\gamma {\vec {a}},}$ а если параллельна, то ${\displaystyle {\vec {F}}=m\gamma ^{3}{\vec {a}},}$ где ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ — релятивистский фактор. Поэтому ${\displaystyle m\gamma =m_{\mathrm {rel} }}$ называют поперечной массой, а ${\displaystyle m\gamma ^{3}}$ — продольной.

Утверждение о том, что масса зависит от скорости, вошло во многие учебные курсы и в силу своей парадоксальности приобрело широкую известность среди неспециалистов. Однако в современной физике избегают использовать термин «релятивистская масса», используя вместо него понятие энергии, а под термином «масса» понимая инвариантную массу (покоя). В частности, выделяются следующие недостатки введения термина «релятивистская масса»[8]:

• неинвариантность релятивистской массы относительно преобразований Лоренца;
• синонимичность понятий энергия и релятивистская масса, и, как следствие, избыточность введения нового термина;
• наличие различных по величине продольной и поперечной релятивистских масс и невозможность единообразной записи аналога второго закона Ньютона в виде

${\displaystyle m_{\mathrm {rel} }{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\vec {F}};}$

• методологические сложности преподавания специальной теории относительности, наличие специальных правил, когда и как следует пользоваться понятием «релятивистская масса» во избежание ошибок;
• путаница в терминах «масса», «масса покоя» и «релятивистская масса»: часть источников просто массой называют одно, часть — другое.

Несмотря на указанные недостатки, понятие релятивистской массы используется и в учебной,[21] и в научной литературе. В научных статьях понятие релятивистской массы используется по большей части только при качественных рассуждениях как синоним увеличения инертности частицы, движущейся с околосветовой скоростью.

В классической физике гравитационное взаимодействие описывается законом всемирного тяготения Ньютона, и его величина определяется гравитационной массой тела[22], которая с высокой степенью точности равна по величине инертной массе, о которой шла речь выше, что позволяет говорить о просто массе тела[23].

В релятивистской физике гравитация подчиняется законам общей теории относительности, в основе которой лежит принцип эквивалентности, заключающийся в неотличимости явлений, происходящих локально в гравитационном поле, от аналогичных явлений в неинерциальной системе отсчёта, движущейся с ускорением, равным ускорению свободного падения в гравитационном поле. Можно показать, что данный принцип эквивалентен утверждению о равенстве инертной и гравитационной масс[24].

В общей теории относительности энергия играет ту же роль, что и гравитационная масса в классической теории. Действительно, величина гравитационного взаимодействия в этой теории определяется так называемым тензором энергии-импульса, являющимся обобщением понятия энергии[25].

В простейшем случае точечной частицы в центрально-симметричном гравитационном поле объекта, масса которого много больше массы частицы, сила, действующая на частицу, определяется выражением[8]:

${\displaystyle {\vec {F}}=-GM{\frac {E}{c^{2}}}{\frac {(1+\beta ^{2}){\vec {r}}-({\vec {r}}{\vec {\beta }}){\vec {\beta }}}{r^{3}}},}$

где G — гравитационная постоянная, M — масса тяжёлого объекта, E — полная энергия частицы, ${\displaystyle \beta =v/c,}$ v — скорость частицы, ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радиус-вектор, проведённый из центра тяжёлого объекта в точку нахождения частицы. Из этого выражения видна главная особенность гравитационного взаимодействия в релятивистском случае по сравнению с классической физикой: оно зависит не только от массы частицы, но и от величины и направления её скорости. Последнее обстоятельство, в частности, не позволяет ввести однозначным образом некую эффективную гравитационную релятивистскую массу, сводившую бы закон тяготения к классическому виду[8].

Важным предельным случаем является случай частицы, масса которой равна нулю. Примером такой частицы является фотон — частица-переносчик электромагнитного взаимодействия[26]. Из приведённых выше формул следует, что для такой частицы справедливы следующие соотношения:

${\displaystyle E=pc,\qquad v=c.}$

Таким образом, частица с нулевой массой вне зависимости от своей энергии всегда движется со скоростью света. Для безмассовых частиц введение понятия «релятивистской массы» в особой степени не имеет смысла, поскольку, например, при наличии силы в продольном направлении скорость частицы постоянна, а ускорение, следовательно, равно нулю, что требует бесконечной по величине эффективной массы тела. В то же время, наличие поперечной силы приводит к изменению направления скорости, и, следовательно, «поперечная масса» фотона имеет конечную величину.

Аналогично бессмысленно для фотона вводить эффективную гравитационную массу. В случае центрально-симметричного поля, рассмотренного выше, для фотона, падающего вертикально вниз, она будет равна ${\displaystyle E/c^{2}}$, а для фотона, летящего перпендикулярно направлению на гравитационный центр, — ${\displaystyle 2E/c^{2}}$[8].

Формула на палубе первого авианосца с ядерной силовой установкой USS Enterprise 31 июля 1964[27]

Полученная А. Эйнштейном эквивалентность массы тела запасённой в теле энергии стала одним из главных практически важных результатов специальной теории относительности. Соотношение ${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$ показало, что в веществе заложены огромные (благодаря квадрату скорости света) запасы энергии, которые могут быть использованы в энергетике и военных технологиях[28].

Джозеф Джон Томсон первым попытался связать энергию и массу

Представление о массе, зависящей от скорости, и об имеющейся связи между массой и энергией начало формироваться ещё до появления специальной теории относительности. В частности, в попытках согласовать уравнения Максвелла с уравнениями классической механики некоторые идеи были выдвинуты в трудах Генриха Шрамма[30] (1872), Н. А. Умова (1874), Дж. Дж. Томсона (1881), О. Хевисайда (1889), Р. Сирла, М. Абрагама, Х. Лоренца и А. Пуанкаре[11]. Однако только у А. Эйнштейна эта зависимость универсальна, не связана с эфиром и не ограничена электродинамикой[31].

Считается, что впервые попытка связать массу и энергию была предпринята в работе Дж. Дж. Томсона, появившейся в 1881 году[8]. Томсон в своей работе вводит понятие электромагнитной массы, называя так вклад, вносимый в инертную массу заряженного тела электромагнитным полем, создаваемым этим телом[32].

Идея наличия инерции у электромагнитного поля присутствует также и в работе О. Хевисайда, вышедшей в 1889 году[33]. Обнаруженные в 1949 году черновики его рукописи указывают на то, что где-то в это же время, рассматривая задачу о поглощении и излучении света, он получает соотношение между массой и энергией тела в виде ${\displaystyle E=mc^{2}}$[34][35].

В 1900 году А. Пуанкаре опубликовал работу, в которой пришёл к выводу, что свет как переносчик энергии должен иметь массу, определяемую выражением ${\displaystyle E/v^{2},}$ где E — переносимая светом энергия, v — скорость переноса[36].

Хендрик Антон Лоренц указывал на зависимость массы тела от его скорости

В работах М. Абрагама (1902 год) и Х. Лоренца (1904 год) было впервые установлено, что, вообще говоря, для движущегося тела нельзя ввести единый коэффициент пропорциональности между его ускорением и действующей на него силой. Ими были введены понятия продольной и поперечной масс, применяемые для описания динамики частицы, движущейся с околосветовой скоростью, с помощью второго закона Ньютона[37][38]. Так, Лоренц в своей работе писал[39]:

Следовательно, в процессах, при которых возникает ускорение в направлении движения, электрон ведёт себя так, как будто он имеет массу ${\displaystyle m_{1},}$ а при ускорении в направлении, перпендикулярном к движению, как будто обладает массой ${\displaystyle m_{2}.}$ Величинам ${\displaystyle m_{1}}$ и ${\displaystyle m_{2}}$ поэтому удобно дать названия «продольной» и «поперечной» электромагнитных масс.

Оригинальный текст (англ.)[показатьскрыть]

Hence, in phenomena in which there is an acceleration in the direction of motion, the electron behaves as if it had a mass ${\displaystyle m_{1}}$, those in which the acceleration is normal to the path, as if the mass were ${\displaystyle m_{2}}$. These quantities ${\displaystyle m_{1}}$ and ${\displaystyle m_{2}}$ may therefore properly be called the "longitudinal" and "transverse" electromagnetic masses of the electron

Экспериментально зависимость инертных свойств тел от их скорости была продемонстрирована в начале XX века в работах В. Кауфмана (1902 год)[40] и А. Бухерера 1908 год)[41].

В 1904—1905 годах Ф. Газенорль в своей работе приходит к выводу, что наличие в полости излучения проявляется в том числе и так, будто бы масса полости увеличилась[42][43].

Альберт Эйнштейн сформулировал принцип эквивалентности энергии и массы в наиболее общем виде

В 1905 году появляется сразу целый ряд основополагающих работ А. Эйнштейна, в том числе и работа, посвящённая анализу зависимости инертных свойств тела от его энергии[44]. В частности, при рассмотрении испускания массивным телом двух «количеств света» в этой работе впервые вводится понятие энергии покоящегося тела и делается следующий вывод[45]:

Масса тела есть мера содержания энергии в этом теле; если энергия изменяется на величину L, то масса изменяется соответственно на величину L/9×10²⁰, причём здесь энергия измеряется в эргах, а масса — в граммах… Если теория соответствует фактам, то излучение переносит инерцию между излучающими и поглощающими телами

Оригинальный текст (нем.)[показатьскрыть]

Die Masse eines Körpers ist ein Maß für dessen Energieinhalt; ändert sich die Energie um L, so ändert sich die Masse in demselben Sinne um L/9.10²⁰ wenn die Energie in Erg und die Masse in Grammen gemessen wird… Wenn die Theorie den Tatsachen entspricht, so überträgt die Strahlung trägheit zwischen den emittierenden und absorbierenden Körpern

В 1906 году Эйнштейн впервые говорит о том, что закон сохранения массы является всего лишь частным случаем закона сохранения энергии[46].

В более полной мере принцип эквивалентности массы и энергии был сформулирован Эйнштейном в работе 1907 года[47], в которой он пишет

…упрощающее предположение ${\displaystyle \mu V^{2}=}$ε₀ является одновременно выражением принципа эквивалентности массы и энергии…

Оригинальный текст (нем.)[показатьскрыть]

…daß die vereinfachende Festsetzung ${\displaystyle \mu V^{2}=}$ ε₀ zugleich der Ausdruck des Prinzipes der Äquivalenz von Masse und Energie ist…

Под упрощающим предположением здесь имеется в виду выбор произвольной постоянной в выражении для энергии. В более подробной статье, вышедшей в том же году[3], Эйнштейн замечает, что энергия является также и мерой гравитационного взаимодействия тел.

В 1911 году выходит работа Эйнштейна, посвящённая гравитационному воздействию массивных тел на свет[48]. В этой работе им приписывается фотону инертная и гравитационная масса равная ${\displaystyle E/c^{2}}$ и для величины отклонения луча света в поле тяготения Солнца выводится значение 0,83 дуговой секунды, что в два раза меньше правильного значения, полученного им же позже на основе развитой общей теории относительности[49]. Интересно, что то же самое половинное значение было получено И. фон Зольднером ещё в 1804 году, но его работа осталась незамеченной[50].

Экспериментально эквивалентность массы и энергии была впервые продемонстрирована в 1933 году. В Париже Ирен и Фредерик Жолио-Кюри сделали фотографию процесса превращения кванта света, несущего энергию, в две частицы, имеющих ненулевую массу. Приблизительно в то же время в Кембридже Джон Кокрофт и Эрнест Томас Синтон Уолтон наблюдали выделение энергии при делении атома на две части, суммарная масса которых оказалась меньше, чем масса исходного атома[51].

С момента открытия формула ${\displaystyle E=mc^{2}}$ стала одной из самых известных физических формул и является символом теории относительности. Несмотря на то, что исторически формула была впервые предложена не Альбертом Эйнштейном, сейчас она ассоциируется исключительно с его именем, например, именно эта формула была использована в качестве названия вышедшей в 2005 году телевизионной биографии известного учёного[52]. Известности формулы способствовало широко использованное популяризаторами науки контринтуитивное заключение, что масса тела увеличивается с увеличением его скорости. Кроме того, с этой же формулой ассоциируется мощь атомной энергии[11]. Так, в 1946 году журнал «Time» на обложке изобразил Эйнштейна на фоне гриба ядерного взрыва с формулой ${\displaystyle E=mc^{2}}$ на нём[53][54].

• 
  Бюст Эйнштейна в австралийском Центре науки и техники Квестакон
• 
  «Теория относительности», одна из шести скульптур в ансамбле Walk of Ideas в Берлине

• Энергия связи
• Дефект массы
• Принцип эквивалентности сил гравитации и инерции
• Принцип относительности

• Джеммер М. Понятие массы в классической и современной физике. — М.: Прогресс, 1967. — 255 с.

• Okun L. B. Energy and mass in relativistic theory. — World Scientific, 2009. — 311 с.

• Кудрявцев П. С. Глава третья. Решение проблемы электродинамики движущихся сред // История физики. Т. III От открытия квант до квантовой механики. — М.: Просвещение, 1971. — С. 36—57. — 424 с. — 23 000 экз.

• Einstein Explains the Equivalence of Energy and Matter (англ.) (недоступная ссылка). Американский институт физики. — Аудиозапись лекции Альберта Эйнштейна, в которой он объясняет принцип эквивалентности массы и энергии. Дата обращения: 19 августа 2010. Архивировано 22 июля 2010 года.
• The Antimatter Calculator (англ.) (недоступная ссылка). Edward Muller's Homepage. — Калькулятор антиматерии. Дата обращения: 31 января 2011. Архивировано 25 декабря 2005 года.
• Страница рукописи Эйнштейна 1912 года с уравнением E=mc² (англ.) (недоступная ссылка). Symmetry Magazine. Дата обращения: 31 января 2011. Архивировано 2 октября 2006 года.
• «Почему E = mc2?». Глава из книги Брайан Кокс, Джефф Форшоу