Тензор энергии-импульса

Те́нзор эне́ргии-и́мпульса (ТЭИ) — симметричный тензор второго ранга (валентности), описывающий плотность и поток энергии и импульса полей материи[1] и определяющий взаимодействие этих полей с гравитационным полем.

Тензор энергии-импульса является дальнейшим релятивистским обобщением понятий энергии и импульса классической механики сплошной среды. Близким к нему понятием-обобщением является 4-вектор энергии-импульса частицы в специальной теории относительности.

Компоненты тензора энергии-импульса

Тензор энергии-импульса может быть записан в виде действительной симметричной матрицы 4x4:

T^{\mu \nu }\ =\ \left({\begin{matrix}T^{00}&T^{01}&T^{02}&T^{03}\\T^{10}&T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{20}&T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{30}&T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{matrix}}\right).

В нём обнаруживаются следующие физические величины:

T⁰⁰ — объёмная плотность энергии. Как правило, она должна быть положительной, однако теоретически допускается существование локальных пространственных областей с отрицательной плотностью энергии. В частности, подобную область можно создать с помощью эффекта Казимира[2].
T¹⁰, T²⁰, T³⁰ — компоненты импульса плотности, умноженные на c.
T⁰¹, T⁰², T⁰³ — компоненты потока энергии (вектора Пойнтинга), делённые на c. В силу симметрии T^μν соблюдается равенство: T^0μ = T^μ0
Подматрица 3 x 3 из чисто пространственных компонент

T^{ik}\ =\ \left({\begin{matrix}T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{matrix}}\right)

есть 3-мерный тензор плотности потока импульса, или тензор напряжений со знаком минус.

Таким образом, компоненты тензора энергии-импульса имеют размерность ML⁻¹T⁻².

Частные случаи

В механике жидкости диагональные её компоненты соответствуют давлению, а прочие составляющие — тангенциальным усилиям (напряжениям или в старой терминологии — натяжениям), вызванным вязкостью.

Для жидкости в покое тензор энергии-импульса сводится к диагональной матрице ${\rm {diag}}({{\rho }c^{2}},~p,~p,~p)$ , где ${\rho }$ есть плотность массы, а $p$ — гидростатическое давление.

В простом случае пылевидной материи тензор энергии-импульса записывается как

T^{ik}=\rho \,u^{i}u^{k}

где $\rho$ — плотность массы (покоя), $u^{i},u^{k}$ — компоненты 4-скорости — записано также для простейшего случая, когда все пылевые частицы движутся с одинаковой скоростью хотя бы локально, а если последнее не так, выражение надо еще суммировать (интегрировать) по скоростям.

Канонический тензор энергии-импульса

В специальной теории относительности физические законы одинаковы во всех точках пространства-времени, поэтому трансляции 4-координат не должны изменять уравнений движения поля. Таким образом, согласно теореме Нётер, бесконечно малым пространственно-временным трансляциям должен соответствовать сохраняющийся нётеровский поток, который в данном случае называется каноническим ТЭИ.

Для лагранжиана (плотности функции Лагранжа) ${\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }={\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }(\phi _{i},\partial _{\mu }\phi _{i})$ , зависящего от полевых функций $\phi _{i}$ и их первых производных, но не зависящего от координат, функционал действия будет инвариантен относительно трансляций:

{\begin{cases}x^{\mu }\to x^{\prime \mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu }\\\phi _{i}(x)\to \phi _{i}^{\prime }(x^{\prime })=\phi _{i}(x).\end{cases}}

Из теоремы Нётер будет следовать закон сохранение канонического ТЭИ (записан в галилеевых координатах)

{{T_{c}}^{\mu }}_{\nu }(x)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\partial _{\nu }\phi _{i}-{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\delta _{\nu }^{\mu },

который имеет вид

\partial _{\mu }{T^{\mu }}_{\nu }\equiv T_{\nu ,\;\mu }^{\mu }=0.

Канонический ТЭИ в полностью контравариантном виде имеет форму

T^{\mu \nu }=g^{\nu \rho }\,{T^{\mu }}_{\rho }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\partial ^{\nu }\phi _{i}-{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }g^{\mu \nu }.

Этот тензор неоднозначен. Свойство неоднозначности можно использовать для приведения, вообще говоря, несимметричного тензора $T^{\mu \nu }$ к симметризованному виду добавлением тензорной величины ${\frac {\partial \psi ^{\mu \nu \lambda }}{\partial x^{\lambda }}}\;,$ где тензор $\psi ^{\mu \nu \lambda }\;$ антисимметричен по двум последним индексам $\psi ^{\mu \nu \lambda }=-\psi ^{\mu \lambda \nu }$ . Действительно, для симметризованного ТЭИ

\Theta ^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }+\partial _{\lambda }\psi ^{\mu \nu \lambda }

автоматически следует закон сохранения $\partial _{\nu }\Theta ^{\mu \nu }=0.$

Метрический тензор энергии-импульса

В общей теории относительности так называемый метрический ТЭИ $T^{\mu \nu }(x)$ выражается через вариационную производную по метрическому тензору $g_{\mu \nu }$ в точке $x$ пространства-времени от инвариантной относительно замен координат лагранжевой плотности функционала действия:

{T_{m}}^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g_{\mu \nu }(x)}}=g^{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g_{\mu \nu }}}=

={\frac {2}{\sqrt {-g}}}\left({\frac {\partial ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\partial g_{\mu \nu }(x)}}-{\frac {\partial }{\partial x^{\lambda }}}{\frac {\partial ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\partial \displaystyle {\frac {\partial g_{\mu \nu }(x)}{\partial x^{\lambda }}}}}+\ldots \right),

где $g(x)=\det \left(g_{\mu \nu }(x)\right).$ Этот тензор энергии-импульса очевидно симметричен. В уравнения Эйнштейна метрический ТЭИ входит в качестве внешнего источника гравитационного поля:

{\frac {c^{4}}{8\pi G}}\left(R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }\right)=T_{\mu \nu }(x),

где $R_{\mu \nu }$ — тензор Риччи, $R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }$ — скалярная кривизна. Для этого тензора в силу инвариантности действия относительно координатных подстановок справедлив дифференциальный закон сохранения в виде

{\displaystyle T_{\nu

Тензор энергии-импульса в классической электродинамике

В классической электродинамике тензор энергии-импульса электромагнитного поля в Международной системе единиц (СИ) имеет вид:

T_{00}={\frac {\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} }{2}}+{\frac {\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} }{2}}

{\begin{pmatrix}T_{01}&T_{02}&T_{03}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{10}&T_{20}&T_{30}\end{pmatrix}}={\frac {1}{c}}\left[\mathbf {E} \times \mathbf {H} \right]

T_{ij}=E_{i}D_{j}+B_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} )=E_{i}D_{j}+B_{i}H_{j}-\delta _{ij}T_{00}.

Пространственные компоненты $T_{ij}$ образуют трёхмерный тензор, который называют максвелловским тензором напряжений[3] или тензором натяжений Максвелла[4].

В ковариантной форме можно записать:

T^{\mu \nu }=-{\frac {1}{\mu _{0}}}[F^{\mu \alpha }F_{\alpha }{}^{\nu }+{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }]\,.

Примечания

Полями материи (материальными полями) в общей теории относительности традиционно называются все поля, кроме гравитационного.
M. Morris, K. Thorne, and U. Yurtsever, Wormholes, Time Machines, and the Weak Energy Condition, Physical Review, 61, 13, September 1988, pp. 1446—1449
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 115. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
Степановский Ю. П. Максвелла тензор натяжений // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1992. — Т. 3. Магнитоплазменный компрессор — Пойнтинга теорема. — С. 32—33. — 672 с. — 48 000 экз. — ISBN 5-85270-019-3.

Литература

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2001. — 534 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4.
- § 32 — канонический ТЭИ
- § 94 — метрический ТЭИ.

См. также

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Полями материи (материальными полями) в общей теории относительности традиционно называются все поля, кроме гравитационного.

[2] M. Morris, K. Thorne, and U. Yurtsever, Wormholes, Time Machines, and the Weak Energy Condition, Physical Review, 61, 13, September 1988, pp. 1446—1449

[3] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 115. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.

[4] Степановский Ю. П. Максвелла тензор натяжений // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1992. — Т. 3. Магнитоплазменный компрессор — Пойнтинга теорема. — С. 32—33. — 672 с. — 48 000 экз. — ISBN 5-85270-019-3.