Тензор Эйнштейна

Те́нзор Эйнште́йна (${\displaystyle G_{\mu \nu }}$) — тензорная величина, представляющая собой вариационную производную скалярной кривизны связности Леви-Чивиты по метрическому тензору. В этом качестве стоит в левой части уравнения Эйнштейна. Тензор Эйнштейна — симметричный тензор второго ранга в n-мерном пространстве, то есть содержит ${\displaystyle n(n+1)/2}$ независимых компонентов, представляющих собой сложные комбинации компонент метрического тензора и его первых и вторых производных.

Тензор Эйнштейна равен разности тензора Риччи ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ и половины метрического тензора ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$, умноженного на скалярную кривизну ${\displaystyle R}$:

${\displaystyle G_{\mu \nu }\,=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\,g_{\mu \nu }\,R}$.

Домножив обе части этого равенства на ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ и произведя свёртку, находим след тензора Эйнштейна:

${\displaystyle \operatorname {Tr} \,G_{\mu \nu }\,={\frac {2\,-n}{2}}\,R}$.

При этом в частном случае четырёхмерного пространства:

${\displaystyle \operatorname {Tr} \,G_{\mu \nu }\,=-\,R}$.

Ковариантная дивергенция тензора Эйнштейна тождественно равна нулю

${\displaystyle G_{\nu$ ;\mu }^{\mu }\equiv 0} ,

что служит обоснованием его использования в левой части уравнения Эйнштейна, так как такое же свойство выполняется для тензора энергии-импульса.