Тензор Риччи

Пусть ${\displaystyle (M,g)}$ — n-мерное риманово многообразие, а ${\displaystyle T_{p}M}$ — касательное пространство к M в точке p. Для любой пары ${\displaystyle \xi ,\eta \in T_{p}M}$ касательных векторов в точке p, тензор Риччи ${\displaystyle \mathrm {Ric} (\xi ,\eta )}$, по определению, отображает ${\displaystyle (\xi ,\eta )}$ в след линейного автоморфизма ${\displaystyle T_{p}M\to T_{p}M}$, заданного тензором кривизны Римана R:

${\displaystyle \zeta \mapsto R(\zeta ,\eta )\xi }$

Если на многообразии заданы локальные координаты, то тензор Риччи можно разложить по компонентам:

${\displaystyle \operatorname {Ric} =R_{ij}\,dx^{i}\otimes dx^{j}}$

где ${\displaystyle R_{ij}={R^{k}}_{ikj}.}$ — след тензора Римана в координатном представлении.

В окрестности любой точки p риманова многообразия ${\displaystyle (M,g)}$ можно всегда определить специальные локальные координаты, так называемые нормальные геодезические координаты, в которых геодезические из точки p совпадают с прямыми, проходящими через начало координат. Кроме того, в самой точке p метрический тензор равен метрике евклидова пространства ${\displaystyle \delta _{ij}}$ (или метрике Минковского ${\displaystyle \eta _{ij}}$ в случае псевдориманова многообразия).

В этих специальных координатах форма объема раскладывается в ряд Тейлора вокруг p:

${\displaystyle d\mu _{g}={\Big [}1-{\frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O(|x|^{3}){\Big ]}d\mu _{\text{Евклида}}}$

Таким образом, если кривизна Риччи ${\displaystyle {\textrm {Ric}}(\xi ,\xi )}$ положительна в направлении вектора ${\displaystyle \xi }$, то узкий конус геодезических, исходящих из точки p в направлении ${\displaystyle \xi }$, будет иметь меньший объем, чем такой же конус в евклидовом пространстве. Аналогично, если кривизна Риччи отрицательна, то узкий конус геодезических в направлении вектора ${\displaystyle \xi }$ будет иметь объем, больший по сравнению с евклидовым.

Пусть ${\displaystyle M}$ есть полное ${\displaystyle n}$-мерное риманово многообразие с ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{M}\geq (n-1)\kappa }$

• Неравенство Бишопа — Громова. Пусть ${\displaystyle p\in M}$, обозначим через ${\displaystyle v_{p}(r)}$ объём шара радиуса ${\displaystyle r}$ с центром в ${\displaystyle p}$, обозначим через ${\displaystyle {\tilde {v}}(r)}$ объём шара радиуса ${\displaystyle r}$ в ${\displaystyle n}$-мерном пространстве постоянной кривизны ${\displaystyle \kappa }$. Тогда отношение

  ${\displaystyle {\frac {v_{p}(r)}{{\tilde {v}}(r)}}}$

есть невозрастающая функция от ${\displaystyle r}$.

• Теорема Мейера
• Из тождества Бохнера для 1-форм следует, что если ${\displaystyle \kappa =1}$ то собственные числа лапласиана на ${\displaystyle M}$ не меньше чем у единичной ${\displaystyle n}$-мерной сферы.

• Тензор кривизны Риччи в общей теории относительности служит ключевым компонентом уравнений Эйнштейна.

• Кривизна Риччи также появляется в уравнении потока Риччи, в котором зависящая от времени метрика деформируется пропорционально кривизне Риччи со знаком минус.

• Кривизна римановых многообразий
• Тензор кривизны
• Поток Риччи