Тождество Бохнера

Тождество Бохнера — общее название семейства тождеств в римановой геометрии, связывающих лапласианы разных типов и кривизну. Тождества получаемыe интегрированием тождества Бохнера иногда называются тождествами Рейли.

Формулировка

Пусть $S$ есть расслоение Дирака над римановым многообразием $M$ , $D$ — соответствующий оператор Дирака, и тогда

D^{2}\phi =\nabla ^{*}\nabla \phi +{\mathfrak {R}}(\phi )

для любого сечения $\phi \colon M\to S$ .

Обозначения

Далее $e_{i}$ обозначает ортонормированный репер в точке.

$\nabla$ обозначает связность на $S$ , и
$\nabla ^{*}\nabla \phi =-\sum _{i}\nabla _{e_{i}}\nabla _{e_{i}}\phi ,$

так называемый лапласиан по связности.

${\mathfrak {R}}$ — сечение $\mathrm {Hom} (S,S)$ , определяемое как
${\mathfrak {R}}(\phi )={\tfrac {1}{2}}\cdot \sum _{i,j}e_{i}.e_{j}.R_{e_{i},e_{k}}\phi ,$

где «

.

» обозначает умножение Клиффорда, и

R_{X,Y}=\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}

— преобразование кривизны.

$D$ — оператор Дирака на $S$ , то есть
$D\phi =\sum _{i}e_{i}.\nabla _{e_{i}}\phi .$

и

D^{2}\phi =\Delta \phi

лапласиан Ходжа на дифференциальных формах

Следствия

Из тождества Бохнера для градиента функции $u$ получаем следующую интегральную формулу для любого замкнутого многообразия
$\int \limits _{M}|\Delta u|^{2}-\int \limits _{M}|\mathrm {Hess} \,u|^{2}=\int \limits _{M}{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)$ ,

где

\mathrm {Hess} \,u

обозначает гессиан

u

.

Если $u\colon M\rightarrow \mathbb {R}$ — гармоническая функция, то
$\Delta ({\tfrac {1}{2}}\cdot |\nabla u|^{2})=|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)$ ,

где

\nabla u

обозначает градиент

u

. В частности:

Компактные многообразия с положительной кривизной Риччи не допускают ненулевых гармонических функций.
Если $u$ — гармоническая функция на многообразии с положительной кривизной Риччи, то функция $|\nabla u|$ субгармоническая.

Из формулы Бохнера следует, что на компактных многообразиях с положительным оператором кривизны отсутствуют гармонические формы любой степени, то есть оно является рационально гомологической сферой.
- Другим методом, а именно потоком Риччи, удалось доказать что любое такое многообразие диффеоморфно фактору сферы по конечной группе.[1]

Примечания

B. Wilking, C. Böhm. Manifolds with positive curvature operators are space forms (англ.) // Ann. of Math. (2). — 2008. — Vol. 167, no. 3. — P. 1079–1097.

Литература

H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn. Spin geometry. — 1989.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] B. Wilking, C. Böhm. Manifolds with positive curvature operators are space forms (англ.) // Ann. of Math. (2). — 2008. — Vol. 167, no. 3. — P. 1079–1097.