Поток Риччи

Поток Риччи — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая деформацию римановой метрики на многообразии.

Эта система является нелинейным аналогом уравнения теплопроводности.

Назван по аналогии с кривизной Риччи, в честь итальянского математика Риччи-Курбастро.

Уравнение

Уравнение потока Риччи имеет вид:

\partial _{t}g_{t}=-2\cdot \mathrm {Rc} _{t}.

где $g_{t}$ обозначает однопараметрическое семейство римановых метрик на полном многообразии (зависящая от вещественного параметра $t$ ), и $\mathrm {Rc} _{t}$ — её тензор Риччи.

Свойства

Формально говоря, система уравнений $R$ $\text{[math]}$ , задаваемая потоком Риччи, не является параболическим уравнением. Тем не менее, существует параболическая система уравнений $R'$ $\text{[math]}$ , предложенная Детурком, такая, что если $g_{0}$ $\text{[math]}$ риманова метрика на компактном многообразии $M$ $\text{[math]}$ и $g_{t}$ $\text{[math]}$ , $g'_{t}$ $\text{[math]}$ — решения систем $R$ $\text{[math]}$ и $R'$ $\text{[math]}$ , то $(M,\;g_{t})$ $\text{[math]}$ изометрично $(M,\;g_{t}')$ $\text{[math]}$ для всех $t$ $\text{[math]}$ .
- Эта конструкция существенно упростила доказательство существования решения, она называется «трюком Детурка».
Аналогично уравнению теплопроводности (и прочим параболическим уравнениям), задав произвольные начальные условия при $t=0$ , можно получить решения лишь в одну сторону по $t$ , а именно $t\geqslant 0$ .
В отличие от решений уравнения теплопроводности, поток Риччи, как правило, не продолжается неограниченно при $t\to \infty$ . Решение продолжается на максимальный интервал $[0,\;T)$ . В случае если $T$ конечно, при приближении к $T$ кривизна многообразия идёт к бесконечности, и в решении формируется сингулярность. Именно на исследовании сингулярностей, в которые упираются потоки Риччи, и было основано доказательство гипотезы Тёрстона.
Псевдолокальность — если некоторая окрестность точки в начальный момент выглядит почти как кусок евклидова пространства, то это свойство сохранится определённое время в потоке Риччи у меньшей окрестности.

Изменение геометрических характеристик

Для объёма $\mathrm {vol} _{t}$ метрики $g_{t}$ верно соотношение
${\tfrac {\partial }{\partial t}}(\mathrm {d} \,\mathrm {vol} _{t})=-\mathrm {R} _{t}\cdot (\mathrm {d} \,\mathrm {vol} _{t}).$
Для скалярной кривизны $\mathrm {R} _{t}$ метрики $g_{t}$ верно соотношение
${\tfrac {\partial }{\partial t}}\mathrm {R} _{t}=\triangle _{t}\mathrm {R} _{t}+|\mathrm {Rc} _{t}|^{2}$

где

|\mathrm {Rc} _{t}|^{2}

определяется как

\sum _{i,j}(\mathrm {Rc} (e_{i},e_{j}))^{2}

для ортонормированного репера

\{e_{i}\}

в точке.

В частности, согласно принципу максимума поток Риччи сохраняет положительность скалярной кривизны.
Более того, нижняя грань скалярной кривизны не убывает.

Для каждого $g_{0}$ -ортонормированного репера $\{e^{i}\}$ в точке $x\in M$ существует так называемый сопутствующий $g_{t}$ -ортонормированный репер $\{e_{t}^{i}\}$ . Для тензора кривизны $\mathrm {Rm} _{t}$ , записанного в этом базисе, верно соотношение
${\tfrac {\partial }{\partial t}}\mathrm {Rm} _{t}=\triangle _{t}\mathrm {Rm} _{t}+Q(\mathrm {Rm} _{t},\mathrm {Rm} _{t}),$

где

Q

— определённая билинейная квадратичная форма на пространстве тензоров кривизны и со значениями в них.

Билинейная квадратичная форма $Q$ определяет векторное поле на векторном пространстве тензоров кривизны — каждому тензору кривизны $x$ приписывается другой тензор кривизны $v_{x}=Q(x,x)$ . Решения ОДУ

{\dot {x}}=v_{x}

играют важную роль в теории потоков Риччи.

Выпуклые множества $K$ в пространстве тензоров кривизны, инвариантные относительно вращений и такие, что если в приведённом ОДУ $x(0)\in K$ , то $x(t)\in K$ при $t\geq 0$ , называются инвариантными для потока Риччи. Если кривизна римановой метрики на замкнутом многообразии в каждой точке принадлежит такому $K$ , то тоже верно и для метрик, получаемых из неё потоком Риччи. Рассуждения такого сорта называются «принципом максимума» для потока Риччи.

К инвариантным множествам относятся

Тензоры кривизны с положительной скалярной кривизной
Тензоры кривизны с положительным оператором кривизны
В трёхмерном случае, тензоры кривизны с положительной кривизной Риччи

Размерность 3

В случае, когда размерность пространства равна 3, для каждого $x$ и $t$ можно подобрать репер $\{e_{t}^{i}\}$ , в котором $\mathrm {Rm} _{t}$ диагонализуется в базисе $e_{1}\wedge e_{2}$ , $e_{2}\wedge e_{3}$ , $e_{3}\wedge e_{1}$ , скажем,

\mathrm {Rm} ={\begin{pmatrix}\lambda &0&0\\0&\mu &0\\0&0&\nu \end{pmatrix}}.

Тогда

Q(\mathrm {Rm} ,\mathrm {Rm} )={\begin{pmatrix}\lambda ^{2}+\mu \cdot \nu &0&0\\0&\mu ^{2}+\nu \cdot \lambda &0\\0&0&\nu ^{2}+\lambda \cdot \mu \end{pmatrix}}.

История

Начало исследованию потока Риччи было положено Гамильтоном в начале 1980-x. С помощью потоков Риччи были доказаны несколько гладких теорем о сфере.

Используя потоки Риччи в своих статьях[1], опубликованных с 2002 по 2003 год, Перельману удалось доказать гипотезу Тёрстона, проведя тем самым полную классификацию компактных трёхмерных многообразий, и доказать гипотезу Пуанкаре.[2]

Примечания

См. статьи Григория Перельмана в списке литературы.
http://arxiv.org/pdf/math/0607607.pdf «This conjecture was formulated by Henri Poincaré [58] in 1904 and has remained open until the recent work of Perelman. … Perelman’s arguments rest on a foundation built by Richard Hamilton with his study of the Ricci flow equation for Riemannian metrics.».

Литература

Hamilton, R. S. Three Manifolds with Positive Ricci Curvature // J. Diff. Geom. 17, 255—306, 1982.
Hamilton, R. S. Four Manifolds with Positive Curvature Operator // J. Diff. Geom. 24, 153—179, 1986.
Perelman, Grisha (November 11, 2002), The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, arΧiv:math.DG/0211159 [math.DG]

Perelman, Grisha (March 10, 2003), Ricci flow with surgery on three-manifolds, arΧiv:math.DG/0303109 [math.DG]

Perelman, Grisha (July 17, 2003), Finite extinction time for the solutions to the Ricci ﬂow on certain three-manifolds, arΧiv:math.DG/0307245 [math.DG]

Bruce Kleiner, John Lott: Notes and commentary on Perelman's Ricci flow papers (PDF; 1,5 MB), 2008.
J. Rubinstein, R. Sinclair: Visualizating Ricci Flow on Manifolds of Revolution (PDF; 2,7 MB), 2004.
Chow, Bennett, Peng Lu, and Lei Ni. Hamilton's Ricci flow. — American Mathematical Soc., 2006.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] См. статьи Григория Перельмана в списке литературы.

[c-2] ttp://arxiv.org/pdf/math/0607607.pdf «This conjecture was formulated by Henri Poincaré [58] in 1904 and has remained open until the recent work of Perelman. … Perelman’s arguments rest on a foundation built by Richard Hamilton with his study of the Ricci flow equation for Riemannian metrics.».