Псевдолокальность потока Риччи

Псевдолокальность — одно из свойств потока Риччи, которое качественно отличает его от линейных потоков, например, от уравнения теплопроводности. Свойство утверждает, что если некоторая окрестность точки в начальный момент выглядит почти как кусок евклидова пространства, то это свойство сохранится определённое время в потоке Риччи для меньшей окрестности.

Псевдолокальность потока Риччи была доказана Перельманом.[1]

Формулировка

Для положительного целого $n$ существуют $\delta ,\varepsilon >0$ такие, что выполняется следующее утверждение.

Пусть $M$ компактное $n$ -мерное многообразие и $g_{t}$ решение потока Риччи на $M$ определённое во временном интервале $[0,\varepsilon ^{2}]$ . Предположим для некоторой точки $x\in M$ изопериметрическая константа в шаре $B(x,1)_{g_{0}}$ не меньше чем $(1-\delta )\cdot c_{n}$ , где $c_{n}$ изопериметрическая константа $n$ -мерного евклидова пространства и скалярная кривизна $g_{0}$ не меньше $-1$ везде в $B(x,1)_{g_{0}}$ . Тогда
$|\mathrm {Rm} _{g_{t}}|\leq {\tfrac {1}{t}}+{\tfrac {1}{\varepsilon ^{2}}}$

во всех точках шара

B(x,\varepsilon )_{g_{t}}

при

t\in [0,\varepsilon ^{2}]

.

Примечания

G. Perelman, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications - 2002

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] G. Perelman, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications - 2002