Гипотеза Пуанкаре

Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть открытую область, диффеоморфную прямому произведению ${\displaystyle (0,1)\times S^{2}}$), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию вдоль потока Риччи.

Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией». Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме.

При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии ${\displaystyle M}$ и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие ${\displaystyle M}$ можно представить как набор сферических пространственных форм ${\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}$, соединённых друг с другом трубками ${\displaystyle [0,1]\times S^{2}}$. Подсчёт фундаментальной группы показывает, что ${\displaystyle M}$ диффеоморфно связной сумме набора пространственных форм ${\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}$ и более того все ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ тривиальны. Таким образом, ${\displaystyle M}$ является связной суммой набора сфер, то есть сферой.

В 1900 году Анри Пуанкаре сделал предположение, что трёхмерное многообразие со всеми группами гомологий как у сферы гомеоморфно сфере. В 1904 году он же нашёл контрпример, называемый теперь сферой Пуанкаре, и сформулировал окончательный вариант своей гипотезы. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.

Гипотеза Пуанкаре долгое время не привлекала внимания исследователей. В 1930-х годах Джон Уайтхед возродил интерес к гипотезе, объявив о доказательстве, но затем отказался от него. В процессе поиска он обнаружил некоторые интересные примеры односвязных некомпактных 3-многообразий, негомеоморфных ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, прообраз которых известен как многообразие Уайтхеда.

Доказательства обобщённой гипотезы Пуанкаре для ${\displaystyle n\geqslant 5}$ получены в начале 1960—1970-х почти одновременно Смейлом, независимо и другими методами Столлингсом (для ${\displaystyle n\geqslant 5}$, его доказательство было распространено на случаи ${\displaystyle n=5,6}$ Зееманом). Доказательство значительно более трудного случая ${\displaystyle n=4}$ было получено только в 1982 году Фридманом. Из теоремы Новикова о топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина следует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях.

Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре (и более общей гипотезы Тёрстона) было найдено Григорием Перельманом и опубликовано им в трёх статьях на сайте arXiv в 2002—2003 годах. Впоследствии, в 2006 году, доказательство Перельмана было проверено и представлено в развёрнутом виде как минимум тремя группами учёных[1]. Доказательство использует модификацию потока Риччи (так называемый поток Риччи с хирургией) и во многом следует плану, намеченному Р. С. Гамильтоном, который также первым применил поток Риччи.

• Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.
• Бессьер Л., Бессон Ж., Буало М. Доказательство гипотезы Пуанкаре (по работам Г. Перельмана) // Математическое просвещение. 2019, сер. 3. Вып. 24, С. 53-69.

• Perelman G. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications (англ.) — 2002. — arXiv:math/0211159
• Perelman G. Ricci flow with surgery on three-manifolds (англ.) — 2003. — arXiv:math/0303109
• Perelman G. Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds (англ.) — 2003. — arXiv:math/0307245
• Milnor J. The Poincaré Conjecture 99 Years Later: A Progress Report (англ.)
• С. Николенко. Проблемы 2000: Гипотеза Пуанкаре // Компьютерра. — 2006. — № 1—2. Архивировано 18 июня 2017 года.
• Morgan J., Tian G. Ricci Flow and the Poincare Conjecture (англ.) — 2006. — arXiv:math/0607607
• B. Kleiner, J. Lott. Notes on Perelman’s papers (англ.)
• Terence Tao''. Perelman’s proof of the Poincaré conjecture: a nonlinear PDE perspective (англ.)