Перестройка Морса

Пусть ${\displaystyle V}$ — гладкое ${\displaystyle n}$-мерное многообразие (без края), в которое (гладко) вложена ${\displaystyle (k-1)}$-мерная сфера ${\displaystyle S^{k-1}}$. Предположим, что нормальное расслоение сферы ${\displaystyle S^{k-1}}$ в многообразии ${\displaystyle V}$ тривиально, то есть что замкнутая трубчатая окрестность ${\displaystyle T}$ сферы ${\displaystyle S^{k-1}}$ в ${\displaystyle V}$ разлагается в прямое произведение ${\displaystyle T=S^{k-1}\times D^{n-k+1}}$, где ${\displaystyle D^{n-k+1}}$ — диск размерности ${\displaystyle n-k+1}$. Выбрав такое разложение, вырежем из ${\displaystyle V}$ внутренность окрестности ${\displaystyle T}$. Получится многообразие, край которого разложен в произведение ${\displaystyle S^{k-1}\times S^{n-k}}$ сфер. Точно такой же край имеет многообразие ${\displaystyle D^{k}\times S^{n-k}}$. Отождествив края этих многообразий по диффеоморфизму, сохраняющему структуру прямого произведения снова получим многообразие ${\displaystyle V'}$ без края, которое и называется результатом хирургии многообразия ${\displaystyle V}$ вдоль сферы ${\displaystyle S^{k-1}}$.

Для осуществления хирургии необходимо задать разложение окрестности ${\displaystyle T}$ сферы ${\displaystyle S^{k-1}}$ в прямое произведение, то есть тривиализацию нормального расслоения сферы ${\displaystyle S^{k-1}}$ в многообразии ${\displaystyle V}$, при этом разные тривиализации (оснащения) могут давать существенно различные (даже гомотопически) многообразия ${\displaystyle V'}$.

Число ${\displaystyle k}$ называется индексом хирургии, а пара ${\displaystyle (k,n-k+1)}$ её типом. Если ${\displaystyle V'}$ получается из ${\displaystyle V}$ хирургией типа ${\displaystyle (i,j)}$, то ${\displaystyle V}$ получается из ${\displaystyle V'}$ хирургией типа ${\displaystyle (j,i)}$. При ${\displaystyle k=0}$ многообразие ${\displaystyle V'}$ является дизъюнктным объединением многообразия ${\displaystyle V}$ (которое может быть в этом случае пустым) и сферы ${\displaystyle S^{n}}$.

• При ${\displaystyle V=S^{2}}$ и ${\displaystyle k=2}$ в результате хирургии получается дизъюнктное объединение двух сфер, а при ${\displaystyle k=1}$ — тор.
• При ${\displaystyle V=S^{3}}$ и ${\displaystyle k=2}$ получается произведение ${\displaystyle S^{1}\times S^{2}}$.
• Случай ${\displaystyle V=S^{3}}$ и ${\displaystyle k=1}$ сложнее: если сфера ${\displaystyle S^{1}}$ вложена в ${\displaystyle S^{3}}$ стандартным образом (большая окружность), то в зависимости от выбора её тривиализации нормального расслоения получаются линзовые пространства; если же допустить заузливание сферы ${\displaystyle S^{1}}$, то получается ещё больший набор трёхмерных многообразий.

• Если ${\displaystyle V}$ является краем ${\displaystyle (n+1)}$-мерного многообразия ${\displaystyle M}$, то ${\displaystyle V'}$ будет краем многообразия ${\displaystyle M'}$, полученного из ${\displaystyle M}$ приклеиванием ручки индекса ${\displaystyle k}$.
  • В частности, если ${\displaystyle f}$ — гладкая функция на многообразии ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle a<b}$ — такие числа, что множество ${\displaystyle f^{-1}([a,b])}$ компактно и содержит единственную критическую точку ${\displaystyle p}$, которая невырождена, то многообразие ${\displaystyle V_{b}=f^{-1}(b)}$ получается из многообразия ${\displaystyle V_{a}=f^{-1}(a)}$ хирургией индекса ${\displaystyle k}$, где ${\displaystyle k}$ — индекс Морса критической точки ${\displaystyle p}$.
  • Более общим образом, любая перестройка ${\displaystyle V'}$ многообразия ${\displaystyle V}$ индекса ${\displaystyle k}$ определяет некоторый бордизм ${\displaystyle (W;V,V')}$, и на триаде ${\displaystyle (W;V,V')}$ существует
• функция Морса, обладающая единственной критической точкой индекса ${\displaystyle k}$, причем любой бордизм ${\displaystyle (W;V,V')}$, на котором существует такого рода функция Морса, получается этим способом.
  • Отсюда (и из существования на триадах функций Морса) следует, что два многообразия тогда и только тогда бордантны, когда одно из них получается из другого конечной последовательностью хирургий.
• При известных предосторожностях в обращении с ориентациями результат хирургии ориентированного многообразия будет снова ориентированным многообразием.

• Конструкция хирургии может быть проведена также для кусочно-линейных и топологических многообразий.