Функция Морса

Функция Морсагладкая функция на многообразии, имеющая невырожденные критические точки.

Линии уровня у морсовской функции на торе с четырьмя критическими точками

Функции Морса возникают и используются в теории Морса, одном из основных инструментов дифференциальной топологии.

Определение

Пусть ― гладкое многообразие, край которого является дизъюнктным объединением (возможно, пустых) многообразий и . Функция Морса триады ― такая гладкая класса функция , (или ) при , что:

  1. все критические точки функции лежат в и невырождены.

Свойства

  • Если многообразие конечномерно, то для множество функций Морса достигает минимума (глобального) на каждой компоненте связности.
  • В пространстве всех -гладких () функций
множество функций Морса является плотным открытым множеством[1].

Вариации и обобщения

Функции Морса естественно обобщаются на гладкие гильбертовы полные (относительно некоторого метрического тензора) многообразия. При этом требуется дополнительное условие:

  • (условие Пале ― Смейла) на любом замкнутом множестве , где функция ограничена, а нижняя грань функции равна нулю, существует критическая точка функции .

Это условие автоматически выполняется в конечномерном случае.

В этом случае множество функций Морса не образует открытого множества, но является множеством 2-й категории Бэра

См. также

Примечания

  1. V. Guillemin, A. Pollack, Differential topology — Prentice-Hall, New York, NY, 1974.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.