Теория Морса

Ключевой результат теории критических точек на гладком многообразии — лемма Морса, описывающая поведение вещественной функции на многообразии ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ в невырожденной критической точке ${\displaystyle b\in M}$: согласно лемме, существует карта ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ для окрестности ${\displaystyle U\ni b}$, такая что ${\displaystyle x_{i}(b)=0}$ для всех ${\displaystyle i}$ и на всей ${\displaystyle U}$ имеет место:

${\displaystyle f(x)=f(b)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{\alpha }^{2}+x_{\alpha +1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$.

(Здесь ${\displaystyle \alpha }$ — индекс ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle b}$.) Обобщение леммы на гильбертовы пространства — лемма Морса — Пале.

Другой важный результат связан с применением перестройки Морса: если множество ${\displaystyle f^{-1}([a,b])}$ компактно, не пересекается с краем многообразия ${\displaystyle M}$ и содержит ровно одну критическую точку, имеющую индекс Морса ${\displaystyle k}$, то ${\displaystyle f^{-1}(b)}$ диффеоморфно многообразию, полученному из ${\displaystyle f^{-1}(a)}$ приклеиванием ручки индекса ${\displaystyle k}$.

Каждой функции Морса ${\displaystyle f}$ на гладком многообразии ${\displaystyle M}$ без края (такой, что все множества ${\displaystyle f^{-1}(a)}$ компактны) отвечает гомотопически эквивалентный многообразию ${\displaystyle M}$ CW-комплекс, клетки которого находятся во взаимно-однозначном соответствии с критическими точками функции ${\displaystyle f}$, причём размерность клетки равна индексу Морса соответствующей критической точки. Важные следствия этого результата — неравенства Морса. Также данный результат предоставляет мощный инструмент для изучения топологии многообразий, причём важны не только индексы, но и количество критических точек. Например, если на замкнутом многообразии задана функция Морса ${\displaystyle f:M\to R}$, имеющая в точности ${\displaystyle m}$ критических точек (индексы которых неизвестны), то:

• случай ${\displaystyle m=1}$ невозможен согласно неравенствам Морса;
• в случае ${\displaystyle m=2}$: теорема Риба о сфере утверждает, что ${\displaystyle M}$ гомеоморфно (но, вообще говоря, не диффеоморфно) сфере ${\displaystyle S^{n}}$;
• случай ${\displaystyle m=3}$ возможен только в некоторых малых размерностях, при этом ${\displaystyle M}$ гомеоморфно многообразию Илса — Кёйпера.

• Милнор, Дж. Теория Морса / Пер. с англ. В. И. Арнольда. — 1965. — 184 с.
• В. А. Шарафутдинов. Лекции. Глава 3: Основы теории Морса