Многообразие Илса — Кёйпера

Многообразием Илса — Кёйпера называется компактификация евклидова пространства $\mathbb {R} ^{n}$ сферой $S^{\frac {n}{2}}$ , где n = 2, 4, 8, и 16.

n = 2: многообразие Илса — Кёйпера диффеоморфно вещественной проективной плоскости $\mathbb {R} P^{2}$ .

Для $n\geq 4$ оно является односвязным и имеет когомологическую структуру

$n=4$ : комплексной проективной плоскости $\mathbb {CP} ^{2}$ ,
$n=8$ : кватернионной проективной плоскости $\mathbb {H} P^{2}$ ,
n = 16: проективной плоскости Кэли $\mathbb {O} P^{2}$ .

Многообразия Илса — Кёйпера играют важную роль в теории Морса и в теории слоений.

Свойства

Теорема Илса — Кёйпера.[1] Пусть $M$ связное замкнутое многообразие размерности $n$ (не обязательно ориентируемое). Предположим, на $M$ существует функция Морса $f:M\to R$ класса гладкости $C^{3}$ , которая имеет ровно три критические точки. Тогда $n=$ 2, 4, 8 или 16 и $M$ является многообразием Илса — Кёйпера.

Теорема:[2] Пусть $M^{n}$ компактное связное многообразие, на котором задано морсовское слоение $F$ . Предположим, что число $c$ центров слоения $F$ больше числа седел $s$ . Тогда существуют ровно две возможности:
- $c=s+2$ , в этом случае $M^{n}$ гомеоморфно сфере $S^{n}$ ,
- $c=s+1$ , в этом случае $M^{n}$ является многообразием Илса — Кёйпера, причем $n=2,4,8$ и $16$ .

См. также

Примечания

J. Eells, N. Kuiper, Manifolds which are like projective planes — Pub. I.H.E.S., 14 , 1962, pp. 5–46.
C. Camacho, B. Scardua, On foliations with Morse singularities. — Proc. Amer. Math. Soc., 136, 2008, pp. 4065–4073

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.