Многообразие Уайтхеда
Многообразие Уайтхеда — определённый пример открытого трёхмерного многообразия, являющегося стягиваемым, но не гомеоморфным . Пример был найден Генри Уайтхедом в 1935 году при попытке решить гипотезу Пуанкаре.
В одномерном и двумерном случаях подобных примеров не существует.
Построение
Для построения в трёхмерной сфере выбирается незаузленное полноторие , далее — второе полноторие в так, что и трубчатая окрестность меридиана образуют утолщение зацепления Уайтхеда. При этом можно стянуть в дополнении меридиана и меридиан можно стянуть в дополнении .
Далее строится полноторие , вложенное в тем же способом, как и для ; это построение можно продолжить до бесконечности, получив последовательность вложенных полнотрий:
Континуум Уайтхеда определяется как пересечение построенных полнотрий:
- .
Дополнение в трёхмерной сфере и есть многообразие Уайтхеда.
Свойства
- Многообразие Уайтхеда, , не гомеоморфно , но произведение гомеоморфно .
- Многообразие Уайтхеда содержит компактное множество такое, что для любого другого компактного множества дополнение не односвязно.
См. также
Литература
- Kirby, Robion. The topology of 4-manifolds. — Springer-Verlag, 1989. — (Lecture Notes in Mathematics, 1374). — ISBN 0-387-51148-2.