Ожерелье Антуана

Ожерелье Антуана (антуановское множество[1]) — пример подмножества евклидова пространства, гомеоморфного канторову множеству, но при этом имеющего неодносвязное дополнение.

Первая итерация
Вторая итерация

Построен Луи Антуаном в 1921 году[2].

Построение

Ожерелье получается как пересечение убывающей последовательности компактных множеств:

такой, что каждое является объединением конечного числа непересекающихся полноториев.

Если максимальный диаметр полнотория в стремится к нулю при , то пересечение:

является компактным вполне несвязным множеством без изолированных точек и значит гомеоморфно канторову множеству.

С другой стороны, можно выбрать последовательность так, что дополнение к полученному неодносвязно, для этого пересечение с каждым полноторием в должно образовывать замкнутую цепь как на картинке.

См. также

Примечания

  1. Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. М.: Наука, 1982. — 160 с. — (Библиотечка «Квант»).
  2. Antoine, Louis (1921), «Sur l’homeomorphisme de deux figures et leurs voisinages», Journal Math Pures et appl. 4: 221—325
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.