Класс Понтрягина

Класс Понтрягина — характеристический класс, определенный для вещественных векторных расслоений. Понятие введено в 1947 году советским математиком Л. С. Понтрягиным.

Для векторного расслоения ${\displaystyle \xi }$ с базой ${\displaystyle B}$ классы Понтрягина обозначаются символом ${\displaystyle p_{i}(\xi )\in H^{4i}(B)}$ и полагаются равными

${\displaystyle p_{i}(\xi )=(-1)^{i}c_{2i}(\xi \otimes \mathbb {C} )}$,

где ${\displaystyle \xi \otimes \mathbb {C} }$ — комплексификация расслоения ${\displaystyle \xi }$, a ${\displaystyle c_{i}}$ — классы Черна.

Полным классом Понтрягина называется неоднородный характеристический класс

${\displaystyle p(\xi )=1+p_{1}(\xi )+p_{2}(\xi )+\dots }$.

Если ${\displaystyle B}$ — гладкое многообразие и расслоение ${\displaystyle \xi }$ явно не указывается, то предполагается что ${\displaystyle \xi }$ есть касательное расслоение ${\displaystyle B}$.